For $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 2\sqrt{3}$ og vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er $30\degree$.

Det er gitt at $\vec{p} = \vec{a} + \vec{b}$.

a)

Regn ut den eksakte lengden av $\vec{p}$.

Det er gitt at $\vec{q} = t \cdot \vec{a} + \vec{b}$, der $t \in \mathbb{R}$.

b)

Bestem $t$ slik at $\vec{p}$ og $\vec{q}$ blir ortogonale.

Fasit

a)

$|\vec{p}| = 2\sqrt{13}$

b)

$t = -\dfrac{6}{7}$

Løsningsforslag

a)

Vi beregner $|\vec{p}|^2 = |\vec{a} + \vec{b}|^2$:

$$|\vec{p}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\,\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$$

Prikkproduktet er

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos 30° = 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot 3 = 12$$

Dermed

$$|\vec{p}|^2 = 16 + 2 \cdot 12 + 12 = 52$$

$\underline{\underline{|\vec{p}| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}}}$

b)

$\vec{p} \perp \vec{q}$ krever $\vec{p} \cdot \vec{q} = 0$:

$$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (t\vec{a} + \vec{b}) = t|\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} + t\,\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 16t + 12 + 12t + 12 = 28t + 24$$ $$28t + 24 = 0 \implies t = -\frac{24}{28} = -\frac{6}{7}$$

$\underline{\underline{t = -\dfrac{6}{7}}}$

---

Sensorveiledning

a)

En god strategi som ikke fører helt fram kan gi 1 poeng.

b)

En god strategi som ikke fører helt fram kan gi 1 poeng.