Vektorer, lengde og ortogonalitet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

For $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er $| \vec{a} | = 4$ , $| \vec{b} | = 2 \sqrt{3}$ og vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er $30 °$ .

Det er gitt at $\vec{p} = \vec{a} + \vec{b}$ .

For hånd

Regn ut den eksakte lengden av $\vec{p}$ .

Det er gitt at $\vec{q} = t \cdot \vec{a} + \vec{b}$ , der $t \in ℝ$ .

For hånd

Bestem $t$ slik at $\vec{p}$ og $\vec{q}$ blir ortogonale.

Fasit

$| \vec{p} | = 2 \sqrt{13}$

$t = - \frac{6}{7}$

Løsningsforslag

Vi beregner $| \vec{p} |^{2} = | \vec{a} + \vec{b} |^{2}$ :

| \vec{p} |^{2} = | \vec{a} |^{2} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + | \vec{b} |^{2}

Prikkproduktet er

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos 30 ° = 4 \cdot 2 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot 3 = 12

Dermed

| \vec{p} |^{2} = 16 + 2 \cdot 12 + 12 = 52

$| \vec{p} | = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$

$\vec{p} ⟂ \vec{q}$ krever $\vec{p} \cdot \vec{q} = 0$ :

(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (t \vec{a} + \vec{b}) = t | \vec{a} |^{2} + \vec{a} \cdot \vec{b} + t \vec{a} \cdot \vec{b} + | \vec{b} |^{2} = 16 t + 12 + 12 t + 12 = 28 t + 24

28 t + 24 = 0 ⟹ t = - \frac{24}{28} = - \frac{6}{7}

$t = - \frac{6}{7}$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

En god strategi som ikke fører helt fram kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2025, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Trigonometri, Skalarprodukt
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet

Innstillinger