Vekt og lengde potensfunksjon

Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom lengde og vekt for en type fisk.

Lengde (cm)	50	70	80	100	120	130
Vekt (gram)	1190	3320	5070	9610	16 080	21 590

Sammenhengen kan beskrives med en modell gitt på formen

F(x) = a \cdot x^b

der $F(x)$ gram er vekten til en fisk som er $x$ centimeter lang.

Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme tallene $a$ og $b$ . Tegn grafen til $F$ .

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(75,\ F(75))$ og $(95,\ F(95))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Bestem den momentane vekstfarten når $x = 100$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Hvor mange prosent vil vekten av en fisk øke med dersom lengden øker med $20\ \%$ ifølge modellen?

Fasit

$F(x) \approx 0{,}00966 \cdot x^{3{,}00}$

$\approx 210 \mathrm{~gram/cm}$

$\approx 289 \mathrm{~gram/cm}$

$\approx 72{,}8\ \%$

LøsningsforslagKI-generert

Legger inn datapunktene i GeoGebra og bruker PotensRegresjon. GeoGebra gir:

F(x) \approx 0{,}00966 \cdot x^{3{,}00}

k = \frac{F(95) - F(75)}{95 - 75} \approx \frac{8219 - 4105}{20} \approx \underline{\underline{210 \mathrm{~gram/cm}}}

Gjennomsnittlig øker vekten med omtrent $210\ \mathrm{gram}$ per centimeter ekstra lengde i intervallet $75$ – $95\ \mathrm{cm}$ .

$F'(100) = a \cdot b \cdot 100^{b-1} \approx 0{,}00966 \cdot 3{,}00 \cdot 100^{2{,}00} \approx \underline{\underline{289 \mathrm{~gram/cm}}}$

Når fisken er $100\ \mathrm{cm}$ , øker vekten med omtrent $289\ \mathrm{gram}$ per centimeter ekstra lengde.

\frac{F(1{,}2x)}{F(x)} = \frac{a(1{,}2x)^b}{ax^b} = 1{,}2^b \approx 1{,}2^3 = 1{,}728

Vekten øker med omtrent $\underline{\underline{72{,}8\ \%}}$ .

Sensorveiledning

2 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for en riktig modell og 1 poeng for en grafisk framstilling som kommuniserer godt. Det skal gå tydelig fram at tallene langs $x$ -aksen er lengde i centimeter og at tallene langs $y$ -aksen er vekt i gram. En kandidat som lager en grafisk framstilling som oppfyller disse kravene i oppgave b), c) eller d), får også uttelling for dette i oppgave a). En kandidat som ikke bruker en potensfunksjon, kan få uttelling for den grafiske framstillingen.

2 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig stigningstall og 1 poeng for en riktig praktisk tolkning av stigningstallet. For å få uttelling for en praktisk tolkning, må det gå tydelig fram at det er en gjennomsnittlig økning i vekt per centimeter.

2 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig momentan vekstfart og 1 poeng for en riktig praktisk tolkning av svaret. For å få uttelling for en praktisk tolkning, må det gå tydelig fram at det er en momentan økning i vekt per centimeter.

2 poeng

En kandidat som bare gjør beregninger for én lengde, får høyst 1 poeng. For å få full uttelling, må kandidaten vise eller argumentere for at sammenhengen gjelder generelt, eller gjøre beregninger for minst to ulike lengder.

Oppgavedata

Poeng: 8
Temaer: potensfunksjon, derivasjon, regresjon
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige
Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte