Vi skal konstruere en funksjon $f(x) = A \cdot \sin(cx + \varphi) + d$ slik at figuren $f$ omdreiet rundt $x$-aksen gir en vase med høyde $20 \, \mathrm{cm}$ og volum $\approx 1{,}5 \, \mathrm{L} = 1500 \, \mathrm{cm}^3$.

Valg av parameterne:

Høyde og periode ($c$): Vasen skal ha høyde $20 \, \mathrm{cm}$, så $x$ går fra $0$ til $20$. Formen på bildet viser én halv sinusbølge — vasen er bred øverst, smalner inn på midten og er bred igjen nederst (eller omvendt). Vi ønsker én full «bølge» over $x \in [0, 20]$, altså periode $T = 20$:

$$c = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10}$$

Likevektslinje ($d$): $d$ er gjennomsnittlig radius. For en vase med passende proporsjonene velger vi $d = 4{,}8 \, \mathrm{cm}$.

Amplitude ($A$): $A$ bestemmer hvor mye formen varierer rundt gjennomsnittet. Vi velger $A = 1{,}3 \, \mathrm{cm}$, som gir en passe «buet» profil.

Faseforskyvning ($\varphi$): Med $\varphi = 0$ starter vasen i $f(0) = d = 4{,}8 \, \mathrm{cm}$ og har toppunkt ved $x = 5$ og bunnpunkt ved $x = 15$:

$x$	$0$	$5$	$10$	$15$	$20$
$f(x)$	$4{,}8$	$6{,}1$	$4{,}8$	$3{,}5$	$4{,}8$

Funksjonsuttrykket:

$$f(x) = 1{,}3 \cdot \sin\!\left(\frac{\pi x}{10}\right) + 4{,}8$$

Verifisering av volum:

Volumet av et omdreiningslegeme rundt $x$-aksen er

$$V = \pi \int_0^{20} \left[f(x)\right]^2 \, \mathrm{d}x$$

Vi regner ut integralet i GeoGebra CAS:

$$V = \pi \int_0^{20} \left(1{,}3 \cdot \sin\!\left(\frac{\pi x}{10}\right) + 4{,}8\right)^2 \mathrm{d}x \approx \underline{\underline{1500{,}7 \, \mathrm{cm}^3 \approx 1{,}5 \, \mathrm{L}}} \checkmark$$

Graf av funksjonen:

Grafen under viser $f(x)$ for $x \in [0, 20]$, der $x$-aksen er høyden og $y$-aksen er radius (begge i $\mathrm{cm}$). Toppunktet $\text{Topp} = (5;\, 6{,}1)$ tilsvarer den bredeste delen av vasen, og bunnpunktet $\text{Bunn} = (15;\, 3{,}5)$ den smaleste.