Utslipp geometrisk rekke og programmering

En bedrift vil redusere utslippet av et forurenset stoff med 5 % hvert år framover. I år er utslippet på 40 tonn.

Vis at det samlede utslippet i år og de to neste årene vil være på 114,1 tonn.

Lag et program du kan bruke for å bestemme det samlede utslippet for denne bedriften over svært lang tid.

Tenk deg at en annen bedrift har et utslipp som er lavere eller høyere enn 40 tonn i år. Denne bedriften vil også redusere utslippet med 5 % hvert år framover.

Undersøk sammenhengen mellom utslippet i år og det samlede utslippet over svært lang tid.

Ole påstår at $T = \dfrac{u}{p} \cdot 100$ er en formel for å regne ut det samlede utslippet $T$ når utslippet i år er $u$ og utslippet reduseres med $p$ % hvert år framover.

Undersøk om denne sammenhengen kan gjelde.

Fasit

40 + 38 + 36,1 = 114,1 tonn ✓ b) Program med løkke → 800 tonn c) T = 20u d) Oles formel T = u/p · 100 er riktig

Løsningsforslag

Utslippet i år er $u_0 = 40$ tonn. Det reduseres med 5 % hvert år, så vekstfaktoren er $k = 0{,}95$ .

I år (år 0): $40 \text{ tonn}$
Neste år (år 1): $40 \cdot 0{,}95 = 38 \text{ tonn}$
Året etter (år 2): $40 \cdot 0{,}95^2 = 40 \cdot 0{,}9025 = 36{,}1 \text{ tonn}$

Samlet utslipp over tre år:

40 + 38 + 36{,}1 = \underline{\underline{114{,}1 \text{ tonn}}} \quad \checkmark

Vi bruker en løkke som summerer utslippet over mange år (f.eks. 1000 år):

utslipp = 40
total = 0
for i in range(1000):
    total += utslipp
    utslipp = utslipp * 0.95

print(total)

Programmet gir: Samlet utslipp ≈ 800 tonn.

Dersom utslippet i år er $u$ (i stedet for 40) og reduksjonen fortsatt er 5 % per år:

Vi prøver noen verdier:

Utslipp i år ( $u$ )	Samlet utslipp ( $T$ )	Forholdet $T/u$
40	800	20
20	400	20
100	2000	20

Det samlede utslippet er alltid $T = 20 \cdot u$ – altså 20 ganger utslippet i år.

Oles formel er $T = \dfrac{u}{p} \cdot 100$ .

Med $u = 40$ og $p = 5$ :

T = \frac{40}{5} \cdot 100 = 8 \cdot 100 = 800 \text{ tonn}

Dette stemmer med svaret i b) og c). La oss sjekke at formelen er generell: En uendelig geometrisk rekke med første ledd $u$ og kvotient $k = 1 - \frac{p}{100}$ har summen

T = \frac{u}{1 - k} = \frac{u}{1 - \left(1 - \frac{p}{100}\right)} = \frac{u}{\frac{p}{100}} = \frac{u \cdot 100}{p}

Oles formel $T = \dfrac{u}{p} \cdot 100$ er riktig – den gir det samlede utslippet når utslippet reduseres med $p$ % hvert år.

Sensorveiledning

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Et delvis riktig program kan gi 1 poeng.

En kandidat som gjør flere undersøkelser, men ikke klarer å beskrive en riktig sammenheng, kan få 1 poeng.

En kandidat som argumenterer for formelen som er gitt i oppgave d), kan få 1 poeng for dette dersom argumentasjonen knyttes til undersøkelsene som er gjort.

For å få full uttelling, må kandidaten variere både $p$ og $u$ og gjøre flere undersøkelser.

Det er viktig vurdere helheten i svarene som er gitt i oppgave c) og d).

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: eksponentiell vekst, eksponentialfunksjoner, programmering
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane