Uendelig rekke og induksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En uendelig rekke er gitt ved

1 + x + x^2 + x^3 + \ldots

Vis at $1 + x + x^2 + x^3 + \ldots = \dfrac{1}{1-x}$ , når $x \in \langle -1,\, 1 \rangle$

Det kan vises at

\bigl(1\bigr)' + \bigl(x\bigr)' + \bigl(x^2\bigr)' + \bigl(x^3\bigr)' + \ldots = \left(\frac{1}{1-x}\right)', \quad \text{når } x \in \langle -1,\, 1 \rangle

Vis at

1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots = \frac{1}{(1-x)^2} \, , \quad \text{når } x \in \langle -1,\, 1 \rangle

Bruk resultatet i oppgave b) til å vise at

1 + \frac{2}{2^1} + \frac{3}{2^2} + \frac{4}{2^3} + \ldots = 4

Bruk induksjon til å bevise påstanden

P(n)\colon \quad 1 + \frac{2}{2^1} + \frac{3}{2^2} + \frac{4}{2^3} + \ldots + \frac{n}{2^{n-1}} = 4 - \frac{n+2}{2^{n-1}} \quad , \quad n \in \mathbb{N}

Bruk det du har funnet ovenfor til å bestemme $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{2^{n-1}}$

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter