Summen $s_n$ av de $n$ første leddene i den geometriske rekka $1+x+x^2+\dots +x^{n-1}$ (med kvotient $x$) er

Når $x\in ⟨-1,1⟩$, gjelder $|x|<1$, og da vil $x^n\to 0$ når $n\to \infty$. Dermed går summen mot en grenseverdi:

Altså er

Vi deriverer begge sider av likningen fra a) ledd for ledd med hensyn på $x$:

Venstre side gir $0+1+2x+3x^2+4x^3+\dots$. Høyre side deriverer vi med kjerneregelen, ${\left({\displaystyle \frac{1}{1-x}}\right)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{{(1-x)}^2}}$, noe CAS bekrefter (linje 1 i utklippet, med ${(-x+1)}^2={(1-x)}^2$):

Dermed er

I resultatet fra b) setter vi $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$, som ligger i $⟨-1,1⟩$:

som er nettopp rekka i oppgaven. Høyresiden blir

Dette stemmer med CAS (linje 2 i utklippet ovenfor). Altså er

Vi skal bevise ved induksjon at

Basissteg ($n=1$):

Venstre side: $1$.

Høyre side: $4-{\displaystyle \frac{1+2}{2^{1-1}}}=4-{\displaystyle \frac{3}{1}}=1$.

Venstre og høyre side er like, så $P(1)$ er sann.

Induksjonssteg:

Anta at $P(k)$ er sann for et vilkårlig $k\in \mathbb{N}$, altså at

Vi skal vise at da er også $P(k+1)$ sann, altså at

Vi legger til leddet ${\displaystyle \frac{k+1}{2^k}}$ på begge sider av induksjonsantakelsen $P(k)$:

Vi forenkler høyre side. CAS gir (linje 3 i utklippet ovenfor):

Dette er nøyaktig $P(k+1)$. Siden $P(1)$ er sann, og $P(k)$ sann medfører $P(k+1)$ sann, er $P(n)$ sann for alle $n\in \mathbb{N}$ ved induksjonsprinsippet. $■$

Fra c) vet vi at rekka $1+{\displaystyle \frac{2}{2^1}}+{\displaystyle \frac{3}{2^2}}+{\displaystyle \frac{4}{2^3}}+\dots$ konvergerer mot $4$ når $n\to \infty$. Fra d) vet vi at delsummen av de $n$ første leddene er

Siden $s_n\to 4$ når $n\to \infty$, må

Dette bekreftes av CAS (linje 4 i utklippet ovenfor). Altså er