Uendelig geometrisk rekke og trekant med kvadrater

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har en uendelig geometrisk rekke $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ som er konvergent.

Vis at summen $S$ av rekken kan skrives

S = \frac{a_1^2}{a_1 - a_2}

Figuren nedenfor viser en rettvinklet og likebeint $\triangle ABC$ der katetene har lengde 12. Inne i trekanten har vi en rekke kvadrater (markert med blått på figuren). Det største kvadratet har side 6, det nest største har side 3, slik at sidene til kvadratene blir halvert i det uendelige.

Rettvinklet likebeint trekant ABC med rekke av kvadrater og trekanter inni

Forklar at summen $S$ av arealene til kvadratene kan skrives som en uendelig geometrisk rekke. Bruk formelen i oppgave a) til å bestemme $S$ .

$\triangle ABC$ inneholder også uendelig mange rettvinklede og likebeinte trekanter (markert med grønt på figuren) der sidene også halveres fra gang til gang. Skriv summen av arealene til disse trekantene som en uendelig geometrisk rekke. Bestem denne summen.

Forklar hvordan du kunne ha funnet de to summene i oppgave b) og oppgave c) ved hjelp av et geometrisk resonnement.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Uendelig rekke, Geometrisk rekke, Konvergens

Uendelig geometrisk rekke og trekant med kvadrater

Sync på tvers av enheter

Uendelig geometrisk rekke og trekant med kvadrater

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave