Uendelig geometrisk rekke og desimaltall

Del 1 · oppgave 3
Mine oppgaver
Verktøy

Sync på tvers av enheter

Uendelig geometrisk rekke og desimaltall

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved

6−3+32−34+38+…6 - 3 + \frac{3}{2} - \frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \ldots

Begrunn at rekken konvergerer, og bestem summen av rekken.

Forklar at desimaltallet 0,135135135…0{,}135135135\ldots kan skrives som den uendelige geometriske rekken

1351000+13510002+13510003+⋯\frac{135}{1000} + \frac{135}{1000^2} + \frac{135}{1000^3} + \cdots

Bruk dette til å skrive tallet 0,135135135…0{,}135135135\ldots som en brøk.

Fasit

s=4s = 4

537\dfrac{5}{37}

LøsningsforslagKI-generert

Rekken 6−3+32−34+⋯6 - 3 + \frac{3}{2} - \frac{3}{4} + \cdots er geometrisk med a1=6a_1 = 6 og k=−36=−12k = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}.

Siden ∣k∣=12<1|k| = \frac{1}{2} < 1, konvergerer rekken.

s=a11−k=61−(−12)=632=4‾‾s = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{6}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{6}{\frac{3}{2}} = \underline{\underline{4}}

Tallet 0,135135135…0{,}135135135\ldots kan skrives som

1351000+13510002+13510003+⋯\frac{135}{1000} + \frac{135}{1000^2} + \frac{135}{1000^3} + \cdots

fordi hvert ledd plasserer 135135 tre desimalplasser lenger ut.

Dette er en uendelig geometrisk rekke med a1=1351000a_1 = \frac{135}{1000} og k=11000k = \frac{1}{1000}:

s=13510001−11000=13510009991000=135999=537‾‾s = \frac{\frac{135}{1000}}{1 - \frac{1}{1000}} = \frac{\frac{135}{1000}}{\frac{999}{1000}} = \frac{135}{999} = \underline{\underline{\frac{5}{37}}}
Oppgavedata
Poeng
4
Temaer
rekker, uendelig rekke
Kompetansemål
  • Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker