Uendelig geometrisk rekke og desimaltall

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved

6 - 3 + \frac{3}{2} - \frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \ldots

Begrunn at rekken konvergerer, og bestem summen av rekken.

Forklar at desimaltallet $0{,}135135135\ldots$ kan skrives som den uendelige geometriske rekken

\frac{135}{1000} + \frac{135}{1000^2} + \frac{135}{1000^3} + \cdots

Bruk dette til å skrive tallet $0{,}135135135\ldots$ som en brøk.

Fasit

$s = 4$

$\dfrac{5}{37}$

LøsningsforslagKI-generert

Rekken $6 - 3 + \frac{3}{2} - \frac{3}{4} + \cdots$ er geometrisk med $a_1 = 6$ og $k = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$ .

Siden $|k| = \frac{1}{2} < 1$ , konvergerer rekken.

s = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{6}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{6}{\frac{3}{2}} = \underline{\underline{4}}

Tallet $0{,}135135135\ldots$ kan skrives som

\frac{135}{1000} + \frac{135}{1000^2} + \frac{135}{1000^3} + \cdots

fordi hvert ledd plasserer $135$ tre desimalplasser lenger ut.

Dette er en uendelig geometrisk rekke med $a_1 = \frac{135}{1000}$ og $k = \frac{1}{1000}$ :

s = \frac{\frac{135}{1000}}{1 - \frac{1}{1000}} = \frac{\frac{135}{1000}}{\frac{999}{1000}} = \frac{135}{999} = \underline{\underline{\frac{5}{37}}}

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2019, del 1, oppgave 3
Poeng: 4
Temaer: rekker, uendelig rekke
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker