Rekken $S(x)=1+\ln x+{(\ln x)}^2+{(\ln x)}^3+\dots$ er en uendelig geometrisk rekke med $a_1=1$ og kvotient $k=\ln x$. En slik rekke konvergerer når $|k|<1$, altså når

Vi løser ved å bruke $e^{(\cdot )}$ på hele ulikheten:

For en konvergent uendelig geometrisk rekke er summen $s={\displaystyle \frac{a_1}{1-k}}$. Med $a_1=1$ og $k=\ln x$ får vi

Vi setter $S(x)=3$ og løser med hensyn på $x$:

Siden $\frac{2}{3}\in ⟨-1,1⟩$, ligger denne løsningen innenfor konvergensområdet.

Vi setter $S(x)=r$ og løser for $\ln x$:

Likningen har løsning innenfor konvergensområdet dersom $\ln x\in ⟨-1,1⟩$, altså

Vi trekker fra $1$ på alle ledd:

Vi multipliserer med $-1$ og snur ulikhetstegnene:

Siden ${\displaystyle \frac{1}{r}}>0$ må $r>0$. Da kan vi multiplisere ${\displaystyle \frac{1}{r}}<2$ med $r$ uten å snu ulikheten: