Uendelig geometrisk rekke med kjent sum og delsum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En uendelig geometrisk rekke $b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + \dots$ konvergerer mot 6.

Summen av de tre første leddene er $\frac{38}{9}$ .

Bestem summen av de fire første leddene.

Fasit

$s_{4} = \frac{130}{27} \approx 4,81$

LøsningsforslagKI-generert

Rekken konvergerer mot $6$ , så

s_{\infty} = \frac{b_{1}}{1 - k} = 6

Summen av de tre første leddene er

s_{3} = \frac{b_{1} (1 - k^{3})}{1 - k} = \frac{b_{1}}{1 - k} \cdot (1 - k^{3}) = 6 (1 - k^{3}) = \frac{38}{9}

Vi løser med hensyn på $k$ :

1 - k^{3} = \frac{38}{9 \cdot 6} = \frac{19}{27}

k^{3} = 1 - \frac{19}{27} = \frac{8}{27}

k = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}

Fra $s_{\infty} = 6$ finner vi $b_{1}$ :

b_{1} = 6 (1 - k) = 6 (1 - \frac{2}{3}) = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2

Summen av de fire første leddene blir da

s_{4} = \frac{b_{1} (1 - k^{4})}{1 - k} = 6 (1 - {(\frac{2}{3})}^{4}) = 6 (1 - \frac{16}{81}) = 6 \cdot \frac{65}{81} = \frac{130}{27}

$s_{4} = \frac{130}{27} \approx 4,81$

Oppgavedata

Hentet fra: R2 E2023, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke

Innstillinger