Ubestemte og bestemte integraler med ln

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int (x^{3} - 2 x) d x

\int_{1}^{e} x \cdot \ln x d x

Fasit

$\frac{1}{4} x^{4} - x^{2} + C$

$\frac{e^{2} + 1}{4}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi integrerer ledd for ledd med regelen $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$ :

\int (x^{3} - 2 x) d x = \frac{1}{4} x^{4} - 2 \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C = \frac{1}{4} x^{4} - x^{2} + C

Integralet løses ved delvis integrasjon, $\int u v^{'} d x = u v - \int u^{'} v d x$ , med

u = \ln x, u^{'} = \frac{1}{x} v^{'} = x, v = \frac{1}{2} x^{2}

Dette gir

\int_{1}^{e} x \cdot \ln x d x = {[\frac{1}{2} x^{2} \ln x]}_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{2} x^{2} \cdot \frac{1}{x} d x = {[\frac{1}{2} x^{2} \ln x]}_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{2} x d x

Vi setter inn grensene i første ledd, der $\ln 1 = 0$ og $\ln e = 1$ :

{[\frac{1}{2} x^{2} \ln x]}_{1}^{e} = \frac{1}{2} e^{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0 = \frac{1}{2} e^{2}

og løser det siste integralet:

\int_{1}^{e} \frac{1}{2} x d x = {[\frac{1}{4} x^{2}]}_{1}^{e} = \frac{1}{4} e^{2} - \frac{1}{4}

Til sammen:

\int_{1}^{e} x \cdot \ln x d x = \frac{1}{2} e^{2} - (\frac{1}{4} e^{2} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4} e^{2} + \frac{1}{4} = \frac{e^{2} + 1}{4}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2014, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Integrasjon, Delvis integrasjon

Innstillinger