Ubestemt og bestemt integral

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int (\cos (\frac{x}{2}) - e^{- x} + 1) d x

\int_{0}^{\sqrt{π}} x \cdot \sin (x^{2}) d x

Fasit

$2 \sin (\frac{x}{2}) + e^{- x} + x + C$

$1$

LøsningsforslagKI-generert

Vi integrerer hvert ledd for seg ved hjelp av standardformler.

\int \cos (\frac{x}{2}) d x = 2 \sin (\frac{x}{2}) + C_{1}

\int - e^{- x} d x = e^{- x} + C_{2}

\int 1 d x = x + C_{3}

Samlet blir dermed

\int (\cos (\frac{x}{2}) - e^{- x} + 1) d x = 2 \sin (\frac{x}{2}) + e^{- x} + x + C

Vi løser integralet med substitusjon. Vi setter

u = x^{2} \Rightarrow d u = 2 x d x \Rightarrow x d x = \frac{1}{2} d u

Vi bytter også grensene: når $x = 0$ er $u = 0$ , og når $x = \sqrt{π}$ er $u = π$ . Dermed er

\int_{0}^{\sqrt{π}} x \cdot \sin (x^{2}) d x = \int_{0}^{π} \sin (u) \cdot \frac{1}{2} d u = \frac{1}{2} {[- \cos (u)]}_{0}^{π}

= \frac{1}{2} (- \cos (π) - (- \cos (0))) = \frac{1}{2} (1 + 1) = 1

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2022, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Substitusjon

Innstillinger