Ubestemt integral h24

Regn ut integralet

\int x^{2} \cdot \ln x d x

Fasit

$\frac{1}{3} x^{3} (\ln x - \frac{1}{3}) + C$

Løsningsforslag

Siden vi skal regne ut integralet til produktet av to ulike funksjoner vil jeg forsøke delvis integrasjon. Jeg benytter DI-metoden, og velger at $x^{2}$ er den faktoren som skal integreres, og $\ln x$ er faktoren som skal deriveres.

Hvordan velge hva som skal deriveres og integreres

I lignende oppgaver har vi ofte valgt å derivere den faktoren som er et polynomuttrykk, slik at faktoren blir null etter at vi har derivert en eller flere ganger. I dette tilfellet er det likevel lurt å velge å integrere polynomfaktoren, siden $\ln x$ er litt vanskelig å integrere. I tillegg ser vi et veldig flott mønster med at ${(\ln x)}^{'} = \frac{1}{x}$ og vi dermed får en rad i DI-systemet som vi kan integrere produktet av.

	D	I
$+$	$\ln x$	$x^{2}$
$-$	$\frac{1}{x}$	$\frac{1}{3} x^{3}$

Vi ser at produktet i rad 2 er $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3} x^{3}$ , som vi kan integrere.

Vi kan altså sette opp

\begin{matrix} \int x^{2} \ln x d x & = \ln x \cdot \frac{1}{3} x^{3} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3} x^{3} d x \\ = \frac{1}{3} x^{3} \ln x - \frac{1}{3} \int x^{2} d x \\ = \frac{1}{3} x^{3} \ln x - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C \\ = \frac{1}{3} x^{3} (\ln x - \frac{1}{3}) + C \end{matrix}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten bruker en riktig strategi, men gjør feil i utregningen. Kandidaten kan få full uttelling selv om $C$ utelates i svaret, men det er en del av helhetsvurderingen.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2024, del 1, oppgave 1a
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Integrasjon, Delvis integrasjon
Kompetansemål: Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner

Ubestemt integral h24

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Ubestemt integral h24

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Ubestemt integral h24

Ubestemt integral h24

Lov på eksamen

Temaer