Trimdeltakelse modellert med to eksponentialledd

Del 2, alle hjelpemidler

Trimdeltakelse modellert med to eksponentialledd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ II

Ledelsen i et idrettslag planlegger en ukentlig trim året igjennom. De regner med at antall deltakere vil følge modellen

D(x)=120−100⋅e−0,35x+80⋅e−0,09x

Her er D(x) antall deltakere per uke x uker etter den første trimuka. Det vil si at D(0) er antall deltakere den første uka, D(1) er antall deltakere den andre uka, og så videre.

Hjelpemiddelkrav: Kalkulator

Tegn grafen til D. Hvor mange deltakere regner de med at det er den andre og den tiende uka?

Hjelpemiddelkrav: Kalkulator

Bestem når det ifølge modellen er 137 deltakere. Bruk uttrykket D(x) til å forklare hva antall deltakere vil stabilisere seg på hvis modellen gjelder i lang tid.

Hjelpemiddelkrav: Kalkulator

Bestem ved regning i hvilken uke man kan regne med flest deltakere.

Hjelpemiddelkrav: Kalkulator

Hvor mange vil ha deltatt på trimmen i løpet av de 20 første ukene?

Fasit

D(1)≈123 og D(9)≈151 deltakere

D(x)=137 for x≈2 og x≈17; på lang sikt stabiliserer antallet seg på 120 deltakere

Flest deltakere i uke 7 (om lag 154 deltakere)

Om lag 2857 deltakelser i løpet av de 20 første ukene

LøsningsforslagKI-generert

Vi har modellen

D(x)=120−100⋅e−0,35x+80⋅e−0,09x

der x er antall uker etter den første trimuka. Det betyr at “den andre uka” tilsvarer x=1, “den tiende uka” tilsvarer x=9, og generelt tilsvarer “uke n” verdien x=n−1.

Vi tegner grafen til D digitalt.

Graf av D med avlesninger og grenselinje y=137

Fra grafen (punktene markert på kurven) leser vi av

D(1)≈122,6D(9)≈151,3

Siden x=1 svarer til den andre uka og x=9 svarer til den tiende uka, betyr dette at de regner med om lag 123 deltakere den andre uka og om lag 151 deltakere den tiende uka.

Løsning av D(x)=137: Vi tegner linja y=137 sammen med grafen til D (se figuren over). Skjæringspunktene ligger ved

x≈1,99ogx≈17,04

Modellen gir altså 137 deltakere to ganger: én gang på vei opp, etter om lag 2 uker (dvs. i den tredje trimuka), og én gang på vei ned igjen, etter om lag 17 uker (dvs. i attende trimuka).

Stabiliseringsnivå: Vi ser på D(x) når x blir stor:

D(x)=120−100⋅e−0,35x+80⋅e−0,09x

Når x→∞ går både e−0,35x→0 og e−0,09x→0, siden eksponentene er negative og går mot −∞. Dermed går

D(x)→120−100⋅0+80⋅0=120

Hvis modellen gjelder i lang tid, vil altså antall deltakere stabilisere seg på 120.

Vi deriverer D(x):

D′(x)=35⋅e−0,35x−7,2⋅e−0,09x

Vi setter D′(x)=0:

35⋅e−0,35x=7,2⋅e−0,09x
357,2=e−0,09x+0,35x=e0,26x
ln⁡(357,2)=0,26x⇒x=ln⁡(35/7,2)0,26≈6,08

Dette er et maksimumspunkt (grafen vokser før og avtar etter, se figuren). Siden x må være et helt tall (antall uker), sammenlikner vi de to nærmeste ukene:

D(6)≈154,4D(7)≈154,0

D(6) er størst, og x=6 svarer til uke 7. Man kan altså regne med flest deltakere i uke 7, med om lag 154 deltakere.

Totalt antall deltakelser i løpet av de 20 første ukene (x fra 0 til 20) finner vi ved å integrere D over dette intervallet:

∫020D(x)dx≈2856,5

Dette gir omtrent 2857 deltakelser i løpet av de 20 første ukene (summen av antall deltakere hver uke, tilnærmet med integralet av modellen).

Forstå oppgaven med en KI

Du får en ferdig tekst du limer inn i den KI-chatboten du bruker. Teksten inneholder oppgaven og en instruks om at chatboten skal hjelpe deg å tenke selv — stille spørsmål, gi ett hint av gangen og la deg gjøre regningen.

Anbefalt. Chatboten får beskjed om å bruke det til å veilede deg riktig vei — ikke til å røpe svaret. Du kan slå det av hvis du vil være helt sikker på at ingenting lekker.

Hva du bør vite
  • Ingenting sendes herfra. Teksten kopieres bare til utklippstavla på enheten din. Det du limer inn i en chatbot, går til den tjenesten — og de har sine egne regler for hva de lagrer.
  • Ikke lim inn personopplysninger — navn, skole eller noe annet om deg selv eller andre. Oppgaveteksten holder.
  • KI kan ta feil, også i matematikk. Sjekk alltid mot løsningsforslaget her på siden.
  • Er du usikker på om du har lov til å bruke KI på skolearbeidet ditt, spør læreren din først.

Tastatursnarveier

Navigasjon

⌘K / Ctrl+K
Åpne søk
G F
Gå til Fag
G E
Gå til Eksamener
G T
Gå til Temaer
G K
Gå til Kompetansemål
G H
Hjem
?
Vis snarveier

I oppgave

←/→ · J/K
Forrige / neste oppgave
0
Marker som ikke prøvd
1
Marker som prøvd
2
Marker som trenger hjelp
3
Marker som ferdig
S
Vis / skjul løsningsforslag
A
Legg til i liste
N
Skriv notat
Esc
Tilbake / avslutt