Trigonometriske verdier og likning R2 V26

Bestem $\sin v$ og $\tan v$ når $\cos v = \dfrac{2}{3}$ og $v$ er en vinkel i 4. kvadrant.

Løs likningen

2\cos\left( \frac{\pi}{3} x \right) = \sqrt{3}, \qquad x \in \langle 0, 10 \rangle

Fasit

$\underline{\underline{\sin v = -\dfrac{\sqrt{5}}{3}}}$ , $\quad\underline{\underline{\tan v = -\dfrac{\sqrt{5}}{2}}}$

$\underline{\underline{x \in \left\{\dfrac{1}{2},\ \dfrac{11}{2},\ \dfrac{13}{2}\right\}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker den trigonometriske grunnidentiteten

\sin^2 v + \cos^2 v = 1

og setter inn $\cos v = \dfrac{2}{3}$ :

\sin^2 v = 1 - \cos^2 v = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}

Dermed er $\sin v = \pm\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ .

Siden $v$ er en vinkel i 4. kvadrant, er $\sin v < 0$ , så

\textcolor{seagreen}{\sin v = -\frac{\sqrt{5}}{3}}

Vi finner tangens ved

\tan v = \frac{\sin v}{\cos v} = \frac{-\dfrac{\sqrt{5}}{3}}{\dfrac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{2}

$\sin v = \underline{\underline{-\dfrac{\sqrt{5}}{3}}}$ og $\tan v = \underline{\underline{-\dfrac{\sqrt{5}}{2}}}$

Vi løser likningen

2\cos\!\left(\frac{\pi}{3}x\right) = \sqrt{3}, \qquad x \in \langle 0,\, 10 \rangle

Deler begge sider på 2:

\cos\!\left(\frac{\pi}{3}x\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Vi kjenner at $\cos\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ når $\theta = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$ eller $\theta = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

Tilfelle 1: $\dfrac{\pi}{3}x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$

x = \frac{3}{\pi}\left(\frac{\pi}{6} + 2\pi k\right) = \frac{1}{2} + 6k

Tilfelle 2: $\dfrac{\pi}{3}x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$

x = \frac{3}{\pi}\left(-\frac{\pi}{6} + 2\pi k\right) = -\frac{1}{2} + 6k

Vi finner alle løsninger i intervallet $\langle 0, 10 \rangle$ :

Fra tilfelle 1 ( $x = \tfrac{1}{2} + 6k$ ):

$k$	$x$	I intervallet?
$0$	$\tfrac{1}{2}$	Ja
$1$	$\tfrac{13}{2}$	Ja
$2$	$\tfrac{25}{2}$	Nei

Fra tilfelle 2 ( $x = -\tfrac{1}{2} + 6k$ ):

$k$	$x$	I intervallet?
$0$	$-\tfrac{1}{2}$	Nei
$1$	$\tfrac{11}{2}$	Ja
$2$	$\tfrac{23}{2}$	Nei

Løsningene er $x \in \left\{\underline{\underline{\dfrac{1}{2},\ \dfrac{11}{2},\ \dfrac{13}{2}}}\right\}$

Sensorveiledning

Kandidater som får feil, men fornuftig sinusverdi, og finner tangensverdien på riktig måte, kan få 1 poeng. For å få full uttelling må kandidaten begrunne negativ sinusverdi. Kandidater som ikke finner en sinusverdi, men bare setter opp formelen for tangensverdien, får ingen uttelling.

4 poeng

Kandidater som viser kompetanse innen trigonometriske likninger, men ikke kommer fram til tre løsninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: trigonometri, enhetssirkel, likninger
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer