Trigonometrisk funksjon og likning

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = 2\sqrt{3} \cdot \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \quad , \quad D_f = \left\langle 0, \frac{\pi}{2} \right\rangle

Bestem amplituden, likevektslinja, perioden og faseforskyvningen.

Løs likningen $f(x) = \sqrt{3}$

En funksjon $g$ er gitt ved

g(x) = 3\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(2x) \quad , \quad D_g = \langle 0, 2\pi \rangle

Løs likningen $g(x) = \sqrt{3}$

Fasit

Amplitude $2\sqrt{ 3 }$ , likevektslinje $y=0$ , periode $\pi$ , faseforskyvning $\frac{\pi}{12}$ mot venstre.

Løsningsforslag

Vi sammenligner med det generelle uttrykket for sinusfunksjoner

\textcolor{seagreen}{A} \sin(\textcolor{steelblue}{k}x + \textcolor{tomato}{\phi})+\textcolor{maroon}{d}

Vi ser fra funksjonsuttrykket til $g$ at

\textcolor{seagreen}{A=2\sqrt{ 3 }}, \quad \textcolor{steelblue}{k=2}, \quad \textcolor{tomato}{\phi=\frac{\pi}{6}}, \quad \textcolor{maroon}{d=0}

Når $k=2$ så har sinusfunksjonen dobbelt så «tette» svingninger og perioden blir derfor $T=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$ . Da blir også faseforskyvningen $\frac{\phi}{2}=\frac{\pi}{12}$ .

Amplituden er $2\sqrt{ 3 }$ , likevektslinja er $y=0$ , perioden er $\pi$ og faseforskyvningen er $\frac{\pi}{12}$ mot venstre.

\begin{aligned} 2\sqrt{3} \cdot \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)&=\sqrt{ 3 } \\ 2 \cdot \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)&=1 \\ \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)&=\frac{1}{2} \end{aligned}

Sensorveiledning

2 poeng

Tre riktige svar kan gi 1 poeng.

2 poeng

Riktig strategi, men feil svar, kan gi 1 poeng.

2 poeng

Kandidater som klarer å skrive om $g(x)$ til en riktig sinusfunksjon kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: trigonometri, funksjoner, likninger
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer