Trigonometri med arealsetning og cosinus

Del 1 · oppgave 5
Mine oppgaver
Verktøy

Sync på tvers av enheter

Trigonometri med arealsetning og cosinus

Likesidet trekant med sidelengder 2

Bruk den likesidede trekanten ovenfor til å vise at sin⁡30°=cos⁡60°=12\sin 30\degree = \cos 60\degree = \dfrac{1}{2}

Gitt en trekant ABCABC der AB=10AB = 10, AC=6AC = 6 og ∠A=30°\angle A = 30\degree

Bestem arealet av trekanten.

Gitt en trekant PQRPQR der PQ=8PQ = 8, PR=3PR = 3 og ∠P=60°\angle P = 60\degree

Bestem lengden av siden QRQR.

Fasit

sin⁡30°=cos⁡60°=12\sin 30\degree = \cos 60\degree = \dfrac{1}{2} (vist ved halvering av likesidet trekant)

Areal =15‾‾= \underline{\underline{15}}

QR=7‾‾\underline{\underline{QR = 7}}

LøsningsforslagKI-generert

Vi halverer den likesidede trekanten med et loddrett snitt fra ett hjørne ned til midtpunktet på den motsatte siden.

Dette gir en rettvinklet trekant med:

  • hypotenus =2= 2
  • kort katet =1= 1 (halvparten av bunnsiden)
  • lang katet =22−12=3= \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}

Vinklene i den rettvinklede trekanten er 30°30\degree, 60°60\degree og 90°90\degree.

Fra definisjonen av sinus og cosinus:

sin⁡30°=motsta˚ende katethypotenus=12\sin 30\degree = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{1}{2} cos⁡60°=hosliggende katethypotenus=12\cos 60\degree = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{1}{2}

Dermed er sin⁡30°=cos⁡60°=12\sin 30\degree = \cos 60\degree = \dfrac{1}{2}.

Vi bruker arealsetningen:

T=12⋅AB⋅AC⋅sin⁡AT = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A T=12⋅10⋅6⋅sin⁡30°=12⋅10⋅6⋅12=15‾‾T = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \sin 30\degree = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = \underline{\underline{15}}

Vi bruker cosinussetningen:

QR2=PQ2+PR2−2⋅PQ⋅PR⋅cos⁡PQR^2 = PQ^2 + PR^2 - 2 \cdot PQ \cdot PR \cdot \cos P QR2=82+32−2⋅8⋅3⋅cos⁡60°QR^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos 60\degree QR2=64+9−48⋅12=73−24=49QR^2 = 64 + 9 - 48 \cdot \frac{1}{2} = 73 - 24 = 49 QR=49=7‾‾QR = \sqrt{49} = \underline{\underline{7}}
Sensorveiledning
2 poeng

En kandidat som setter opp riktige uttrykk for sinus og cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant, kan få 1 poeng. For å få full uttelling, må det gå tydelig fram hvordan den likesidede trekanten er brukt.

2 poeng

En kandidat som setter opp et riktig uttrykk, men ikke regner ut arealet, kan få 1 poeng.

2 poeng

En kandidat som setter opp et riktig uttrykk, men ikke regner ut lengden av QRQR, kan få 1 poeng.

Oppgavedata
Poeng
6
Temaer
trigonometri, arealsetningen, cosinussetningen
Kompetansemål
  • Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga
  • Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar