Trigonometri i rettvinklet trekant

Rettvinklet trekant

Tom har arbeidet med trekanten ovenfor og påstår at $\tan u \cdot \tan v = 1$

Vis at Tom har rett.

Avgjør om påstanden stemmer for alle rettvinklede trekanter med to spisse vinkler $u$ og $v$ .

Fasit

–

Påstanden stemmer alltid

Løsningsforslag

\begin{aligned} \tan u&=\frac{6}{8} \\ \tan v&=\frac{8}{6}\\ \tan u \cdot \tan v&=\frac{6}{8} \cdot \frac{8}{6}=\frac{\cancel{ 6 }}{\cancel{ 8 }} \cdot \frac{\cancel{ 8} }{\cancel{ 6 }}=1 \end{aligned}

Tom har rett. $\underline{\underline{ \tan u \cdot \tan v = 1 }}$

For de to spisse vinklene $u$ og $v$ i en rettvinklet så vil de alltid ha «motsatte» hosliggende og mostående kateter. La oss kalle den ene kateten for $a$ og den andre for $b$ . Da er

\tan u =\frac{a}{b} \quad \text{og}\quad \tan v=\frac{b}{a}

Hvis vi multipliserer disse må vi alltid få 1.

\tan u \cdot \tan v = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}= 1

Påstanden stemmer for alle rettvinklede trekanter med to spisse vinkler.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: trigonometri, bevis
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne