Trekking av røde og blå kuler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I oppgaven kan du få bruk for disse formlene:

Binomisk fordeling:

P (X = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}

Antall uavhengige forsøk er $n$ . $X$ er antall ganger $A$ inntreffer. $P (A) = p$ i hvert forsøk.

Hypergeometrisk fordeling:

P (X = k) = \frac{(\binom{m}{k}) \cdot (\binom{n - m}{r - k})}{(\binom{n}{r})}

$m$ elementer i $D$ . $n - m$ elementer i $\overline{D}$ . $r$ elementer trekkes tilfeldig. $X$ er antall elementer som trekkes fra $D$ .

I en boks ligger det 3 røde og 4 blå kuler. Thomas skal trekke tilfeldig ut 3 kuler uten tilbakelegging.

Bestem sannsynligheten for at 2 av de 3 kulene han trekker, er røde.

Bestem sannsynligheten for at han trekker ut flere røde enn blå kuler.

Thomas skal så trekke tilfeldig ut 3 kuler med tilbakelegging.

Bestem sannsynligheten for at 2 av de 3 kulene han trekker, er røde.

Fasit

$P (X = 2) = \frac{12}{35}$

$P (flere røde) = \frac{13}{35}$

$P (X = 2) = \frac{108}{343}$

LøsningsforslagKI-generert

Kulene trekkes uten tilbakelegging, så $X$ = antall røde kuler er hypergeometrisk fordelt med $m = 3$ røde kuler, $n - m = 4$ blå kuler, $n = 7$ kuler totalt og $r = 3$ kuler som trekkes.

P (X = 2) = \frac{(\binom{3}{2}) \cdot (\binom{4}{1})}{(\binom{7}{3})} = \frac{3 \cdot 4}{35} = \frac{12}{35} \approx 0,343

Han trekker flere røde enn blå kuler når $X = 2$ (2 røde, 1 blå) eller $X = 3$ (3 røde, 0 blå).

Fra a) er $P (X = 2) = \frac{12}{35}$ . Vi finner $P (X = 3)$ :

P (X = 3) = \frac{(\binom{3}{3}) \cdot (\binom{4}{0})}{(\binom{7}{3})} = \frac{1 \cdot 1}{35} = \frac{1}{35}

Siden hendelsene er disjunkte, blir

P (flere røde enn blå) = P (X = 2) + P (X = 3) = \frac{12}{35} + \frac{1}{35} = \frac{13}{35} \approx 0,371

Med tilbakelegging er sannsynligheten for rød kule lik $p = \frac{3}{7}$ i hvert av de $n = 3$ uavhengige forsøkene, så $X$ er binomisk fordelt med $n = 3$ og $p = \frac{3}{7}$ .

P (X = 2) = (\binom{3}{2}) \cdot {(\frac{3}{7})}^{2} \cdot {(\frac{4}{7})}^{1} = 3 \cdot \frac{9}{49} \cdot \frac{4}{7} = \frac{108}{343} \approx 0,315

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2015, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling, Binomisk fordeling

Trekking av røde og blå kuler

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Trekking av røde og blå kuler

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Trekking av røde og blå kuler

Trekking av røde og blå kuler

Lov på eksamen

Temaer