Trekke ut elever fra S1-gruppe hypergeometrisk fordeling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en S1-gruppe er det 12 gutter og 18 jenter. Seks av elevene skal trekkes ut tilfeldig til muntlig eksamen i faget. Vi lar $X$ være antall jenter som blir trukket ut.

Lag en grafisk fremstilling av sannsynlighetsfordelingen til $X$ .

Bruk to ulike strategier til å bestemme sannsynligheten for at det blir trukket ut minst én gutt.

Maya er en av jentene i gruppen.

Bestem sannsynligheten for at Maya blir trukket ut sammen med 2 andre jenter og 3 gutter.

Fasit

Se graf under.

$P(\text{minst 1 gutt}) = \dfrac{2107}{2175} \approx 0{,}9687$

$P \approx 0{,}0504$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har totalt 30 elever (12 gutter og 18 jenter), og trekker 6 uten tilbakelegging. La $X$ være antall jenter som trekkes ut. Da er $X$ hypergeometrisk fordelt.

Den generelle formelen er:

P(X = k) = \frac{\binom{18}{k} \cdot \binom{12}{6-k}}{\binom{30}{6}}

Vi beregner $\binom{30}{6} = 593\,775$ .

Vi regner ut $P(X = k)$ for $k = 0, 1, \ldots, 6$ :

$k$	$\binom{18}{k}$	$\binom{12}{6-k}$	$P(X=k)$
0	1	924	$\approx 0{,}0016$
1	18	792	$\approx 0{,}0240$
2	153	495	$\approx 0{,}1275$
3	816	220	$\approx 0{,}3023$
4	3060	66	$\approx 0{,}3401$
5	8568	12	$\approx 0{,}1732$
6	18564	1	$\approx 0{,}0313$

Grafisk fremstilling av sannsynlighetsfordelingen (laget i GeoGebra):

Sannsynlighetsfordeling for X

Strategi 1 – komplementærhendelse:

«Minst én gutt» er komplementet til «ingen gutter», dvs. at alle 6 er jenter ( $X = 6$ ).

P(X = 6) = \frac{\binom{18}{6} \cdot \binom{12}{0}}{\binom{30}{6}} = \frac{18\,564}{593\,775} = \frac{68}{2175}

P(\text{minst 1 gutt}) = 1 - P(X = 6) = 1 - \frac{68}{2175} = \frac{2107}{2175} \approx \mathbf{0{,}9687}

Strategi 2 – summer over gunstige utfall:

P(\text{minst 1 gutt}) = \sum_{k=0}^{5} P(X = k)

= 0{,}0016 + 0{,}0240 + 0{,}1275 + 0{,}3023 + 0{,}3401 + 0{,}1732 \approx \mathbf{0{,}9687}

Begge strategier gir $P(\text{minst 1 gutt}) = \dfrac{2107}{2175} \approx \underline{\underline{0{,}97}}$ .

Maya er én bestemt jente blant 18. For at Maya skal trekkes ut sammen med nøyaktig 2 andre jenter og 3 gutter, må vi velge:

Maya: bestemt (1 måte)
2 jenter fra de resterende 17 jentene: $\binom{17}{2} = 136$ måter
3 gutter fra 12 gutter: $\binom{12}{3} = 220$ måter

Totalt antall måter å trekke 6 elever fra 30: $\binom{30}{6} = 593\,775$ .

P = \frac{\binom{1}{1} \cdot \binom{17}{2} \cdot \binom{12}{3}}{\binom{30}{6}} = \frac{1 \cdot 136 \cdot 220}{593\,775} = \frac{29\,920}{593\,775} = \frac{5984}{118\,755} \approx \underline{\underline{0{,}0504}}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Kombinatorikk, Sannsynlighet

Trekke ut elever fra S1-gruppe hypergeometrisk fordeling

Sync på tvers av enheter

Trekke ut elever fra S1-gruppe hypergeometrisk fordeling

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave