Trekanttall og sum av nabotall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Trekanttallene er gitt ved formelen

a_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}, der n er et naturlig tall.

Skriv opp de ti første trekanttallene.

Inge påstår at summen av to «nabo-trekanttall» alltid er et kvadrattall.

Finn ut om dette gjelder for $a_{14} + a_{15}$ og for $a_{20} + a_{21}$ .

Finn ut om $a_{n} + a_{n + 1}$ alltid er et kvadrattall.

Fasit

$1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55$

$a_{14} + a_{15} = 225 = 15^{2}$ og $a_{20} + a_{21} = 441 = 21^{2}$ — begge kvadrattall

$a_{n} + a_{n + 1} = {(n + 1)}^{2}$ for alle naturlige tall $n$ (vist)

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $n = 1, 2, \dots, 10$ i formelen $a_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ :

De ti første trekanttallene er $1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55$ .

Vi beregner $a_{14}$ og $a_{15}$ :

a_{14} = \frac{14 \cdot 15}{2} = \frac{210}{2} = 105

a_{15} = \frac{15 \cdot 16}{2} = \frac{240}{2} = 120

Summen er:

a_{14} + a_{15} = 105 + 120 = 225 = 15^{2}

Dette er et kvadrattall.

Vi beregner $a_{20}$ og $a_{21}$ :

a_{20} = \frac{20 \cdot 21}{2} = \frac{420}{2} = 210

a_{21} = \frac{21 \cdot 22}{2} = \frac{462}{2} = 231

Summen er:

a_{20} + a_{21} = 210 + 231 = 441 = 21^{2}

Dette er også et kvadrattall. Påstanden ser ut til å stemme for begge disse parene.

Vi skal vise at $a_{n} + a_{n + 1}$ alltid er et kvadrattall. Vi setter inn formelen for trekanttall:

a_{n} = \frac{n (n + 1)}{2} og a_{n + 1} = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2}

Legger dem sammen:

a_{n} + a_{n + 1} = \frac{n (n + 1)}{2} + \frac{(n + 1) (n + 2)}{2} = \frac{n (n + 1) + (n + 1) (n + 2)}{2}

Vi faktoriserer ut $(n + 1)$ i telleren:

= \frac{(n + 1) [n + (n + 2)]}{2} = \frac{(n + 1) (2 n + 2)}{2} = \frac{(n + 1) \cdot 2 (n + 1)}{2}

= {(n + 1)}^{2}

Vi har vist at

a_{n} + a_{n + 1} = {(n + 1)}^{2}

for alle naturlige tall $n$ . Siden ${(n + 1)}^{2}$ er et perfekt kvadrat, er summen av to nabotrekanttall alltid et kvadrattall.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Elever som bruker talleksempler bør honoreres noe.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2011, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Figurtall, Rekker, Bevis, Tallfølger

Innstillinger