Trekanttall og sammenheng mellom T(m+n) og T(m)+T(n)

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Trekanttall nummer $n$ er gitt ved formelen $T (n) = \frac{n (n + 1)}{2}$ , $n \in ℕ$

For hånd

Sett opp en tabell med de 12 første trekanttallene.

Det finnes en sammenheng mellom $T (m + n)$ og $T (m) + T (n)$ , $n \in ℕ$ , $m \in ℕ$

For hånd

Sett $m = 2$ og $n = 8$ og bruk tabellen i oppgave a) til å regne ut

$T (2 + 8)$ , $T (2) + T (8)$ og

T (2 + 8) - (T (2) + T (8))

Sett inn andre verdier for $m$ og $n$ og undersøk hva $T (m + n) - (T (m) + T (n))$ blir. Prøv å formulere en generell regel.

For hånd

Bruk formelen for $T (n)$ til å skrive uttrykket

T (m + n) - (T (m) + T (n))

så enkelt som mulig.

Fasit

Se tabell under.

$T (10) - (T (2) + T (8)) = 16 = 2 \cdot 8$ . Generell regel: $T (m + n) - (T (m) + T (n)) = m n$ .

$T (m + n) - (T (m) + T (n)) = m n$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker formelen $T (n) = \frac{n (n + 1)}{2}$ og beregner de 12 første trekanttallene:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$T (n)$	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	66	78

Med $m = 2$ og $n = 8$ leser vi av tabellen:

T (2 + 8) = T (10) = 55

T (2) + T (8) = 3 + 36 = 39

T (2 + 8) - (T (2) + T (8)) = 55 - 39 = 16

Vi merker oss at $16 = 2 \cdot 8 = m \cdot n$ . Vi prøver noen andre verdier:

$m$	$n$	$T (m + n)$	$T (m) + T (n)$	$T (m + n) - (T (m) + T (n))$	$m \cdot n$
3	4	$T (7) = 28$	$6 + 10 = 16$	$12$	$12$
1	5	$T (6) = 21$	$1 + 15 = 16$	$5$	$5$
3	3	$T (6) = 21$	$6 + 6 = 12$	$9$	$9$

Generell regel: $T (m + n) - (T (m) + T (n)) = m n$

Vi setter inn formelen $T (n) = \frac{n (n + 1)}{2}$ for hvert ledd:

T (m + n) - (T (m) + T (n))

= \frac{(m + n) (m + n + 1)}{2} - (\frac{m (m + 1)}{2} + \frac{n (n + 1)}{2})

= \frac{(m + n) (m + n + 1) - m (m + 1) - n (n + 1)}{2}

Vi utvider telleren:

(m + n) (m + n + 1) = m^{2} + m n + m + m n + n^{2} + n = m^{2} + 2 m n + n^{2} + m + n

m (m + 1) = m^{2} + m

n (n + 1) = n^{2} + n

Setter inn:

= \frac{(m^{2} + 2 m n + n^{2} + m + n) - (m^{2} + m) - (n^{2} + n)}{2}

= \frac{m^{2} + 2 m n + n^{2} + m + n - m^{2} - m - n^{2} - n}{2}

= \frac{2 m n}{2} = m n

Vi har dermed bevist at

T (m + n) - (T (m) + T (n)) = m n

Verifisering med GeoGebra CAS:

Vi definerer $T (n) = \frac{n (n + 1)}{2}$ og lar CAS forenkle $T (m + n) - (T (m) + T (n))$ :

GeoGebra CAS bekrefter at T(m+n)-(T(m)+T(n)) = mn

CAS bekrefter at uttrykket forenkler til $𝐧 \cdot 𝐦$ , det vil si $m n$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 7 poeng

Kandidater som har satt inn korrekt andre verdier for $m$ og $n$ uten å foreslå en generell regel, bør få noe uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2012, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Figurtall, Rekker, Bevis, Tallfølger

Trekanttall og sammenheng mellom T(m+n) og T(m)+T(n)

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Trekanttall og sammenheng mellom T(m+n) og T(m)+T(n)

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Trekanttall og sammenheng mellom T(m+n) og T(m)+T(n)

Trekanttall og sammenheng mellom T(m+n) og T(m)+T(n)

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer