Trekant og plan i rommet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt punktene $A (1, 1, 0)$ , $B (4, 1, 1)$ og $C (2, 0, - 1)$ .

Bestem arealet av trekanten $△ A B C$ .

Bestem avstanden fra punktet $C$ til linja gjennom $A$ og $B$ .

$A$ , $B$ og $C$ ligger i planet $α$ . Punktet $P$ har koordinatene $P (- 2, 1, 4)$ .

Lag en parameterframstilling for linja $ℓ$ som går gjennom punktet $P$ og står vinkelrett på planet $α$ .

En rett linje $m$ går gjennom punktet $P$ , er parallell med planet $α$ og skjærer $z$ -aksen i punktet $D$ .

Bestem koordinatene til $D$ .

Fasit

$Areal = \frac{\sqrt{26}}{2} \approx 2,55$

$d = \frac{\sqrt{65}}{5} \approx 1,61$

$ℓ : (x, y, z) = (- 2 + t, 1 + 4 t, 4 - 3 t)$

$D = (0, 0, \frac{10}{3})$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ :

\vec{A B} = B - A = (4 - 1, 1 - 1, 1 - 0) = (3, 0, 1)

\vec{A C} = C - A = (2 - 1, 0 - 1, - 1 - 0) = (1, - 1, - 1)

Kryssprodukt:

\vec{A B} \times \vec{A C} = | \begin{matrix} 𝐢 & 𝐣 & 𝐤 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & - 1 \end{matrix} |

= 𝐢 (0 \cdot (- 1) - 1 \cdot (- 1)) - 𝐣 (3 \cdot (- 1) - 1 \cdot 1) + 𝐤 (3 \cdot (- 1) - 0 \cdot 1)

= 𝐢 (0 + 1) - 𝐣 (- 3 - 1) + 𝐤 (- 3 - 0) = (1, 4, - 3)

Lengden av kryssproduktet:

| \vec{A B} \times \vec{A C} | = \sqrt{1^{2} + 4^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26}

Arealet av trekanten er halvparten av parallelogrammet utspent av $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ :

Areal = \frac{1}{2} | \vec{A B} \times \vec{A C} | = \frac{\sqrt{26}}{2} \approx 𝟐,𝟓𝟓

Avstanden fra et punkt $C$ til linja gjennom $A$ og $B$ er:

d = \frac{| \vec{A B} \times \vec{A C} |}{| \vec{A B} |}

Vi beregner $| \vec{A B} |$ :

| \vec{A B} | = \sqrt{3^{2} + 0^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}

Dermed:

d = \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{26}{10}} = \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{260}}{10} = \frac{\sqrt{4 \cdot 65}}{10} = \frac{2 \sqrt{65}}{10} = \frac{\sqrt{65}}{5} \approx 𝟏,𝟔𝟏

Linja $ℓ$ gjennom $P (- 2, 1, 4)$ og vinkelrett på planet $α$ har retningsvektor lik normalvektoren til $α$ .

Normalvektoren til $α$ er $𝐧 = \vec{A B} \times \vec{A C} = (1, 4, - 3)$ (beregnet i oppgave a).

Parameterframstilling for $ℓ$ :

ℓ : (x, y, z) = (- 2, 1, 4) + t (1, 4, - 3) = (- 2 + t, 1 + 4 t, 4 - 3 t), t \in ℝ

Punkt $D$ ligger på $z$ -aksen, så $D = (0, 0, d)$ for et tall $d$ .

Linja $m$ gjennom $P (- 2, 1, 4)$ og $D$ er parallell med planet $α$ . Det betyr at retningsvektoren $\vec{P D}$ er vinkelrett på normalvektoren $𝐧 = (1, 4, - 3)$ .

Vi beregner $\vec{P D}$ :

\vec{P D} = D - P = (0 - (- 2), 0 - 1, d - 4) = (2, - 1, d - 4)

Betingelsen $\vec{P D} ⟂ 𝐧$ gir $\vec{P D} \cdot 𝐧 = 0$ :

1 \cdot 2 + 4 \cdot (- 1) + (- 3) (d - 4) = 0

2 - 4 - 3 d + 12 = 0

10 - 3 d = 0

d = \frac{10}{3}

Dermed er $D = (0, 0, \frac{10}{3})$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

Kandidater som regner riktig kryssprodukt kan få 1 poeng.

Riktig strategi, men feil svar, kan gi 1 poeng.

En god strategi kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2024, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Vektorer, Geometri
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet

Trekant og plan i rommet

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Trekant og plan i rommet

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Trekant og plan i rommet

Trekant og plan i rommet

Lov på eksamen

Temaer