Trekant med minimal omkrets og funksjonsdrøfting

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Trekant ABC med høyde CD

$Δ A B C$ har grunnlinje $A B = 8$ . Punktet $D$ ligger på $A B$ . $C D = 6$ og $∠ B D C = 90^{\circ}$ . Se skissen til høyre.

Vi setter $B D = x$ .

Krever PC

Vis at sammenhengen mellom lengden $x$ og omkretsen $f (x)$ av $Δ A B C$ er gitt ved

f (x) = 8 + \sqrt{x^{2} + 36} + \sqrt{x^{2} - 16 x + 100}, x \in [0, 8]

Krever PC

Bestem $x$ slik at omkretsen av $Δ A B C$ blir minst mulig. Forklar at trekanten da vil være likebeint.

Fasit

Se utledning i løsningsforslaget.

$x = 4$ , som gir minste omkrets $f (4) \approx 22,4$

LøsningsforslagKI-generert

Punktet $D$ ligger på $A B$ med $B D = x$ , så $A D = A B - B D = 8 - x$ . Siden $∠ B D C = 90 °$ og $∠ A D C = 90 °$ (de er nabovinkler til en rett vinkel langs linjen $A B$ ), er både $Δ B D C$ og $Δ A D C$ rettvinklede trekanter med $C D = 6$ som en katet.

I $Δ B D C$ gir Pytagoras’ setning

B C = \sqrt{B D^{2} + C D^{2}} = \sqrt{x^{2} + 36}

I $Δ A D C$ gir Pytagoras’ setning

A C = \sqrt{A D^{2} + C D^{2}} = \sqrt{{(8 - x)}^{2} + 6^{2}} = \sqrt{x^{2} - 16 x + 64 + 36} = \sqrt{x^{2} - 16 x + 100}

Omkretsen av $Δ A B C$ er summen av alle tre sidene:

f (x) = A B + B C + A C = 8 + \sqrt{x^{2} + 36} + \sqrt{x^{2} - 16 x + 100}

Siden $D$ må ligge mellom $A$ og $B$ , er $x \in [0, 8]$ .

f (x) = 8 + \sqrt{x^{2} + 36} + \sqrt{x^{2} - 16 x + 100}, x \in [0, 8]

Vi finner minimumspunktet til $f (x)$ på $[0, 8]$ i CAS med kommandoen Min(f, 0, 8).

CAS: minimum av omkretsfunksjonen f(x)

CAS gir minimumspunktet $(4, 22,42221)$ . Omkretsen er altså minst når

x = 4

og minsteverdien er $f (4) \approx 22,4$ .

Trekanten er likebeint: Når $x = 4$ , er $B D = 4$ og $A D = 8 - x = 4$ , altså $A D = B D$ . Da blir

B C = \sqrt{4^{2} + 36} = \sqrt{52} A C = \sqrt{4^{2} - 16 \cdot 4 + 100} = \sqrt{52}

Siden $A C = B C$ , har $Δ A B C$ to like lange sider, og trekanten er dermed likebeint.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2014, del 2, oppgave 8
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Funksjonsdrøfting, Optimering, Geometri, Pytagoras

Trekant med minimal omkrets og funksjonsdrøfting

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Trekant med minimal omkrets og funksjonsdrøfting

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Trekant med minimal omkrets og funksjonsdrøfting

Trekant med minimal omkrets og funksjonsdrøfting

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer