Trekant med medianer og tyngdepunkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Se skissen nedenfor.

Trekant ABC med midtpunkter M1, M2, M3 og tyngdepunkt T

For hånd

Midtpunktene på sidekantene i $△ A B C$ er $M_{1}$ , $M_{2}$ og $M_{3}$ .

Vis ved regning at $M_{1}$ har koordinatene $(3, \frac{3}{2})$ . Bestem koordinatene til $M_{2}$ og $M_{3}$ ved regning.

For hånd

Bestem en parameterframstilling til linjen gjennom $A$ og $M_{2}$ og en parameterframstilling til linjen gjennom $C$ og $M_{1}$ .

For hånd

Tyngdepunktet $T$ i trekanten er skjæringspunktet mellom medianene. Bestem koordinatene til $T$ .

Fasit

$M_{2} = (4, 3)$ , $M_{3} = (2, \frac{5}{2})$

$(x, y) = (1,1) + t (3,2)$ og $(x, y) = (3,4) + s (0,1)$

$T = (3, \frac{7}{3})$

LøsningsforslagKI-generert

Av skissen leser vi av koordinatene $A (1,1)$ , $B (5,2)$ og $C (3,4)$ .

$M_{1}$ er midtpunktet på $A B$ , og finnes ved å ta gjennomsnittet av koordinatene til $A$ og $B$ :

M_{1} = (\frac{1 + 5}{2}, \frac{1 + 2}{2}) = (3, \frac{3}{2})

som stemmer med det oppgitte punktet.

På samme måte er $M_{2}$ midtpunktet på $B C$ , og $M_{3}$ midtpunktet på $A C$ :

M_{2} = (\frac{5 + 3}{2}, \frac{2 + 4}{2}) = (4, 3)

M_{3} = (\frac{1 + 3}{2}, \frac{1 + 4}{2}) = (2, \frac{5}{2})

Medianen fra $A$ går gjennom $A (1,1)$ og $M_{2} (4,3)$ . Retningsvektoren blir

\vec{A M_{2}} = M_{2} - A = (4 - 1, 3 - 1) = (3, 2)

og parameterframstillingen for linjen blir

(x, y) = (1,1) + t \cdot (3,2), t \in ℝ

Medianen fra $C$ går gjennom $C (3,4)$ og $M_{1} (3, \frac{3}{2})$ . Retningsvektoren blir

\vec{C M_{1}} = M_{1} - C = (3 - 3, \frac{3}{2} - 4) = (0, - \frac{5}{2})

Vi kan forkorte denne vektoren (gange med $- \frac{2}{5}$ ) til $(0,1)$ uten at linjen endres. Parameterframstillingen blir

(x, y) = (3,4) + s \cdot (0,1), s \in ℝ

Tyngdepunktet $T$ er skjæringspunktet mellom de to medianene fra b). Siden $x$ -komponenten i medianen fra $C$ alltid er $3$ , setter vi $x = 3$ inn i uttrykket for medianen fra $A$ :

1 + 3 t = 3 \Rightarrow t = \frac{2}{3}

Da blir

y = 1 + 2 \cdot \frac{2}{3} = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}

Dette er kontrollert med CAS i GeoGebra, se utklippet under, som gir samme resultat:

Skjæring mellom medianene i GeoGebra CAS

Tyngdepunktet er dermed

T = (3, \frac{7}{3})

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Grafisk løsning gir ikke full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2013, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Parameterframstilling, Geometri

Trekant med medianer og tyngdepunkt

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Trekant med medianer og tyngdepunkt

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Trekant med medianer og tyngdepunkt

Trekant med medianer og tyngdepunkt

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer