Trekant innskrevet i sirkel med AB som diameter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figur 1 nedenfor viser en $△ A B C$ som er innskrevet i en sirkel med sentrum i $S$ . $A B$ er diameteren i sirkelen. Figur 2 viser figur 1 som delvis fargelagt.

Figur 1 viser trekanten ABC innskrevet i en sirkel med sentrum S, der AB er diameter på 10,0 cm, AC er 5,0 cm og vinkel A er 60 grader. Figur 2 viser den samme figuren, der hele sirkelflaten utenom trekanten er farget blå

For hånd

Velg én av framgangsmåtene nedenfor til å konstruere eller tegne figur 1.

Med passer, linjal og blyant:

Konstruer $△ A B C$ med $A B = 10,0 c m$ , $∠ A = 60 °$ og $A C = 5,0 c m$ .
Konstruer midtnormalen til $A B$ . Midtnormalen skjærer $A B$ i punktet $S$ .
Slå en sirkel om $S$ gjennom punktene $A$ , $B$ og $C$ .

Med dynamisk geometriprogram:

Tegn $△ A B C$ med $A B = 10,0 c m$ , $∠ A = 60 °$ og $A C = 5,0 c m$ .
Tegn midtnormalen til $A B$ . Midtnormalen skjærer $A B$ i punktet $S$ .
Tegn en sirkel om $S$ gjennom punktene $A$ , $B$ og $C$ .

For hånd

Forklar kort hvorfor $∠ A C B = 90 °$ uten å måle vinkelen.

Kalkulator

Bestem arealet av den delen av sirkelflaten som er blå på figur 2.

Fasit

Konstruksjonen følger stegene i oppgaveteksten (se løsningsforslaget).

$∠ A C B = 90 °$ fordi $A B$ er diameter i sirkelen (Thales’ setning).

$A \approx 56,9 {cm}^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Konstruksjonen gjøres ved å følge stegene i oppgaveteksten, enten med passer og linjal eller i et dynamisk geometriprogram:

Tegn $△ A B C$ der $A B = 10,0 cm$ , $∠ A = 60 °$ og $A C = 5,0 cm$ .
Konstruer midtnormalen til $A B$ . Midtnormalen skjærer $A B$ i punktet $S$ . Siden $A B$ er diameteren i sirkelen, ligger sentrum $S$ nøyaktig midt mellom $A$ og $B$ — det er derfor $S$ er skjæringspunktet mellom $A B$ og midtnormalen.
Tegn en sirkel med sentrum i $S$ som går gjennom $A$ , $B$ og $C$ .

Følges disse stegene nøyaktig, gir det figur 1 med de riktige målene.

$A B$ er diameteren i sirkelen, og $C$ er et punkt på sirkelen. Ifølge Thales’ setning er enhver periferivinkel som spenner over en diameter, en rett vinkel. Derfor er

∠ A C B = 90 °

uten at vi trenger å måle vinkelen.

Siden $∠ A C B = 90 °$ (fra b), er $△ A B C$ rettvinklet i $C$ , med hypotenusen $A B = 10,0 cm$ , $∠ A = 60 °$ og $∠ B = 30 °$ .

Sidene i en $30 °$ - $60 °$ - $90 °$ -trekant. Vi finner forholdet mellom sidene ved å dele en likesidet trekant med sidekant $2 s$ i to like rettvinklede trekanter langs høyden. Høyden står vinkelrett på grunnlinja og deler den i to biter på $s$ . I hver rettvinklede halvpart er kateter $s$ og $h$ , og hypotenusen er $2 s$ . Pytagoras’ setning gir

\begin{matrix} s^{2} + h^{2} & = {(2 s)}^{2} \\ h^{2} & = 4 s^{2} - s^{2} = 3 s^{2} \\ h & = s \sqrt{3} \end{matrix}

Sidene i en rettvinklet trekant med vinklene $30 °$ , $60 °$ og $90 °$ står altså i forholdet $s : s \sqrt{3} : 2 s = 1 : \sqrt{3} : 2$ , der den korteste siden ligger mot $30 °$ -vinkelen og den nest lengste ligger mot $60 °$ -vinkelen.

Anvendt på $△ A B C$ : Hypotenusen $A B = 10,0 cm$ svarer til $2 s$ , altså $s = 5,0 cm$ .

$A C$ (mot $∠ B = 30 °$ ) $= s = 5,0 cm$ — stemmer med oppgitt mål.
$B C$ (mot $∠ A = 60 °$ ) $= s \sqrt{3} = 5 \sqrt{3} cm \approx 8,7 cm$ .

Areal av trekanten (rettvinklet i $C$ , med kateter $A C$ og $B C$ ):

A_{△} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B C = \frac{1}{2} \cdot 5,0 \cdot 5 \sqrt{3} = 12,5 \sqrt{3} \approx 21,7 {cm}^{2}

Areal av sirkelen (radius $r = \frac{A B}{2} = 5,0 cm$ ):

A_{sirkel} = π r^{2} = π \cdot {5,0}^{2} = 25 π \approx 78,5 {cm}^{2}

Det blå området på figur 2 er hele sirkelflaten utenom trekanten, altså sirkelarealet minus trekantarealet:

A_{blå} = A_{sirkel} - A_{△} = 25 π - 12,5 \sqrt{3} \approx 78,5 - 21,7 \approx 56,9 {cm}^{2}

Det blå området er altså om lag $56,9 {cm}^{2}$ , litt over to tredeler av hele sirkelen.

$A \approx 56,9 {cm}^{2}$

Oppgavedata

Hentet fra: 10. trinn V2017, del 2, oppgave 7
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Geometri, Konstruksjon, Sirkel, Areal og omkrets

Trekant innskrevet i sirkel med AB som diameter

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Trekant innskrevet i sirkel med AB som diameter

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Trekant innskrevet i sirkel med AB som diameter

Trekant innskrevet i sirkel med AB som diameter

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer