Treets høyde og eksponentiell regresjon
Lov på eksamen
- Kalkulator
- CAS
- Graftegner og regneark
- Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kan den løses uten PC?
2 av 4 deloppgaver kan løses uten PC.
Fra 2027 er det bare kalkulator og skriftlige hjelpemidler på del 2. Vurderingen er gjort med KI og kan inneholde feil.
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Jon har i flere år målt høyden til et tre. Se tabellen nedenfor. Første gang han målte, var treet 1,00 m høyt.
| Antall år etter første måling | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Treets høyde (målt i ) | 1,00 | 1,25 | 1,55 | 1,94 | 2,46 | 3,04 | 3,83 |
Framstill datamaterialet fra tabellen ovenfor i et koordinatsystem.
Jon vil finne en matematisk modell som viser treets høyde. Han er usikker på hvilken type modell som passer best. Han legger til en ekstra rad i tabellen. Se nedenfor.
| Antall år etter første måling | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Treets høyde (målt i ) | 1,00 | 1,25 | 1,55 | 1,94 | 2,46 | 3,04 | 3,83 |
| Prosentvis endring fra året før |
Tegn av denne tabellen i besvarelsen din. Fyll inn tallene som skal stå i de hvite feltene. Bruk disse tallene til å begrunne hvilken type modell Jon bør velge.
Bruk for eksempel regresjon til å finne modellen. Tegn grafen til modellen i samme koordinatsystem som du brukte i a).
Denne modellen er laget på grunnlag av data fra en periode på seks år. Vurder om modellen kan brukes til å si noe om treets vekst før og etter denne perioden.
Fasit
Se punkter i grafen i løsningsforslaget.
Prosentvis endring er tilnærmet konstant per år → eksponentiell modell.
Modellen gjelder kun i måleperioden — urealistisk både bakover (treet ville aldri vært ) og framover (uendelig vekst).
LøsningsforslagKI-generert
Vi framstiller de sju målingene i et koordinatsystem med antall år etter første måling på -aksen og treets høyde i meter på -aksen. Punktene er markert med rødt i figuren under (sammen med regresjonskurven fra c)).
Den prosentvise endringen fra året før regnes ut med formelen
For eksempel for år 1: .
Tilsvarende utregning for de andre årene gir følgende tabell:
| Antall år etter første måling | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Treets høyde (målt i ) | 1,00 | 1,25 | 1,55 | 1,94 | 2,46 | 3,04 | 3,83 |
| Prosentvis endring fra året før |
Den prosentvise endringen fra år til år er , rundt hvert år. Når den prosentvise endringen er tilnærmet konstant fra periode til periode, vokser tallmaterialet eksponentielt (samme vekstfaktor hvert år). Jon bør derfor velge en , ikke for eksempel en lineær eller potensmodell.
Vi utfører eksponentiell regresjon på datapunktene fra tabellen i GeoGebra. Regresjonen gir modellen
der er antall år etter første måling, og er treets høyde i meter. Startverdien stemmer godt med at treet var høyt ved første måling, og vekstfaktoren svarer til den tilnærmet konstante årlige veksten på som vi fant i b).
Grafen til modellen er tegnet sammen med datapunktene i figuren i a) — kurven passer godt til punktene.
Modellen er laget ut fra data fra en periode på seks år (), og kan derfor bare med sikkerhet brukes til å beskrive treets høyde .
Bakover i tid (før første måling, ) gir modellen at treets høyde nærmer seg, men aldri når, — funksjonen når , men blir aldri lik null. Dette er urimelig, siden et virkelig tre må ha startet å vokse fra en frø- eller spireplante med en bestemt (liten) starthøyde, ikke fra en uendelig fjern fortid.
Framover i tid (etter måleperioden, ) gir modellen urealistisk sterk vekst, fordi en eksponentiell modell øker uten grenser. For eksempel gir modellen , noe som er helt urealistisk for et tre. I virkeligheten vil veksten avta etter hvert, og treets høyde vil flate ut mot en maksimal høyde (typisk for arten treet tilhører), ikke fortsette å øke med hvert år.
Modellen bør derfor ikke brukes til å si noe om treets vekst utenfor de seks årene den er basert på.