Tredjegradspolynom med derivasjon og gjennomsnittlig vekstfart

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} + 4 x^{2} + x - 6

Bestem $f^{'} (x)$ .

Bestem den momentane vekstfarten til $f$ i punktet $(- 3, f (- 3))$ .

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $[- 1, 2]$ .

Fasit

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 8 x + 1$

$f^{'} (- 3) = 4$

$8$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ ledd for ledd, med regelen $\frac{d}{d x} x^{n} = n x^{n - 1}$ :

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 4 \cdot 2 x + 1 = 3 x^{2} + 8 x + 1

Den momentane vekstfarten i $x = - 3$ er verdien av den deriverte i dette punktet, $f^{'} (- 3)$ :

f^{'} (- 3) = 3 \cdot {(- 3)}^{2} + 8 \cdot (- 3) + 1 = 3 \cdot 9 - 24 + 1 = 27 - 24 + 1 = 4

Den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $[- 1, 2]$ er stigningstallet til sekantlinjen gjennom $(- 1, f (- 1))$ og $(2, f (2))$ :

\frac{f (2) - f (- 1)}{2 - (- 1)}

Vi regner ut funksjonsverdiene:

f (2) = 2^{3} + 4 \cdot 2^{2} + 2 - 6 = 8 + 16 + 2 - 6 = 20

f (- 1) = {(- 1)}^{3} + 4 \cdot {(- 1)}^{2} + (- 1) - 6 = - 1 + 4 - 1 - 6 = - 4

Setter vi verdiene inn i formelen for gjennomsnittlig vekstfart:

\frac{f (2) - f (- 1)}{2 - (- 1)} = \frac{20 - (- 4)}{3} = \frac{24}{3} = 8

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2019, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Funksjoner, Derivasjon, Momentan vekstfart, Gjennomsnittlig vekstfart

Innstillinger