Skjæring med $y$-aksen finner vi ved å sette $x=0$:

Grafen skjærer $y$-aksen i $(\mathrm{0,0})$.

Skjæring med $x$-aksen finner vi ved å sette $f(x)=0$ og faktorisere:

Dette gir $x=0$ (dobbel rot) eller $x=3$. Grafen skjærer altså $x$-aksen i $(\mathrm{0,0})$ og $(\mathrm{3,0})$.

Kontroll i CAS bekrefter $\text{Løs}(f(x)=0,x)=\{x=0,x=3\}$.

Svar: $\underline{\underline{(\mathrm{0,0})\text{ og }(\mathrm{3,0})}}$

Vi deriverer $f(x)=x^3-3x^2$ ledd for ledd:

Mulige topp- eller bunnpunkt finner vi der $f^{\prime }(x)=0$:

Dette gir $x=0$ eller $x=2$.

Vi lager et fortegnsskjema for $f^{\prime }(x)=3x(x-2)$:

$f$ vokser før $x=0$ og avtar etter, så $x=0$ gir et toppunkt: $f(0)=0$, altså $(\mathrm{0,0})$.

$f$ avtar før $x=2$ og vokser etter, så $x=2$ gir et bunnpunkt: $f(2)=2^3-3\cdot 2^2=8-12=-4$, altså $(2,-4)$.

Kontroll i CAS bekrefter $\text{Derivert}(f,x)=3x^2-6x$ og $\text{Løs}(f^{\prime }(x)=0,x)=\{x=0,x=2\}$, med $f(2)=-4$.

Svar: $\underline{\underline{\text{Toppunkt }(\mathrm{0,0}),\text{ bunnpunkt }(2,-4)}}$

Ut fra drøftingen i a) og b) vet vi at grafen:

• går gjennom $(\mathrm{0,0})$ (toppunkt og nullpunkt) og $(\mathrm{3,0})$
• har et bunnpunkt i $(2,-4)$
• vokser for $x<0$ og $x>2$, og avtar for $0<x<2$

Gjennomsnittlig veksthastighet fra $x=-1$ til $x=3$ er stigningstallet til sekantlinjen gjennom punktene $A(-1,f(-1))$ og $B(3,f(3))$ på grafen.

Grafisk (se figuren i c)) ser vi at sekantlinjen har stigning $1$: den stiger $1$ enhet for hver $1$ enhet den går til høyre.

Ved regning:

Svar: $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}}=1}}$