Tredjegradsfunksjon og vannstand

Del 1 · oppgave 5
Mine oppgaver
Verktøy

Sync på tvers av enheter

Tredjegradsfunksjon og vannstand

Funksjonen ff er gitt ved

f(x)=(x−1)2⋅(x−7)f(x) = (x - 1)^2 \cdot (x - 7)

Vis at grafen til ff har et bunnpunkt i (5,−32)(5, -32). Bestem eventuelle andre toppunkter og bunnpunkter på grafen til ff.

Lag en skisse av grafen til ff.

Vi skal nå studere vannstanden under en vårflom i en elv. Vannstanden er høyden (i meter) på vannet målt på en utplassert skala.

En modell gg for vannstanden er gitt ved

g(x)=−0,10⋅f(x),Dg=[2,6]g(x) = -0{,}10 \cdot f(x), \quad D_g = [2, 6]

Her er xx antall dager etter at flommen startet.

Når var vannstanden på sitt høyeste, og hva var vannstanden da?

Når økte vannstanden mest, og hvor raskt økte den da?

Fasit

Bunnpunkt i (5,−32)(5, -32), toppunkt i (1,0)(1, 0)

Skisse

Vannstanden var høyest etter 5 dager, med g(5)=3,2 meterg(5) = 3{,}2 \mathrm{~meter}

Vannstanden økte mest etter 3 dager, med 1,2 meter per dag1{,}2 \text{~meter per dag}

LøsningsforslagKI-generert

Vi utvider f(x)=(x−1)2(x−7)f(x) = (x-1)^2(x-7):

f(x)=(x2−2x+1)(x−7)=x3−9x2+15x−7f(x) = (x^2 - 2x + 1)(x - 7) = x^3 - 9x^2 + 15x - 7

Vi deriverer:

f′(x)=3x2−18x+15=3(x2−6x+5)=3(x−1)(x−5)f'(x) = 3x^2 - 18x + 15 = 3(x^2 - 6x + 5) = 3(x - 1)(x - 5)

Vi setter f′(x)=0f'(x) = 0:

3(x−1)(x−5)=0  ⟹  x=1ellerx=53(x-1)(x-5) = 0 \implies x = 1 \quad \text{eller} \quad x = 5

Vi bruker fortegnsskjema for f′(x)f'(x):

xx←1\leftarrow 1111→51 \to 5555→5 \to
f′(x)f'(x)++00−-00++
f(x)f(x)↗\nearrow00↘\searrow−32-32↗\nearrow

Vi ser at ff har toppunkt i (1,0)(1, 0) og bunnpunkt i (5,−32)(5, -32).

Vi kontrollerer: f(5)=(5−1)2(5−7)=16⋅(−2)=−32f(5) = (5-1)^2(5-7) = 16 \cdot (-2) = -32 ✓

Grafen til ff har:

  • Nullpunkter i x=1x = 1 (dobbelt) og x=7x = 7
  • Toppunkt i (1,0)(1, 0)
  • Bunnpunkt i (5,−32)(5, -32)

Grafen starter negativt for x<1x < 1, tangerer xx-aksen i x=1x = 1, synker ned til bunnpunktet (5,−32)(5, -32), og krysser xx-aksen igjen i x=7x = 7.

Siden g(x)=−0,10⋅f(x)g(x) = -0{,}10 \cdot f(x), har gg maksimum der ff har minimum. Fra oppgave a) har ff minimum i x=5x = 5.

g(5)=−0,10⋅f(5)=−0,10⋅(−32)=3,2g(5) = -0{,}10 \cdot f(5) = -0{,}10 \cdot (-32) = 3{,}2

Vannstanden var på sitt høyeste etter 5 dager‾‾\underline{\underline{5 \mathrm{~dager}}}, og vannstanden var da 3,2 meter‾‾\underline{\underline{3{,}2 \mathrm{~meter}}}.

Vannstanden økte mest der g′(x)g'(x) er størst, altså i vendepunktet til gg der g′′(x)=0g''(x) = 0.

g′(x)=−0,10⋅f′(x)=−0,10(3x2−18x+15)g'(x) = -0{,}10 \cdot f'(x) = -0{,}10(3x^2 - 18x + 15) g′′(x)=−0,10(6x−18)g''(x) = -0{,}10(6x - 18)

Vi setter g′′(x)=0g''(x) = 0:

6x−18=0  ⟹  x=36x - 18 = 0 \implies x = 3

Vi sjekker at x=3∈[2,6]x = 3 \in [2, 6] ✓

g′(3)=−0,10(3⋅9−18⋅3+15)=−0,10(27−54+15)=−0,10⋅(−12)=1,2g'(3) = -0{,}10(3 \cdot 9 - 18 \cdot 3 + 15) = -0{,}10(27 - 54 + 15) = -0{,}10 \cdot (-12) = 1{,}2

Vannstanden økte mest etter 3 dager‾‾\underline{\underline{3 \mathrm{~dager}}}, og den økte da med 1,2 meter per dag‾‾\underline{\underline{1{,}2 \text{~meter per dag}}}.

Oppgavedata
Poeng
8
Temaer
funksjonsdrøfting, derivasjon, modellering
Kompetansemål
  • Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon