Tredjegradsfunksjon med toppunkt og ukjente

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = - 24 x^{3} + a x^{2} - b^{2} x - 27

Grafen til $f$ har et toppunkt i $(3, 3)$ .

For hånd

Vis at dette gir oss likningene

\begin{matrix} 6 a - b^{2} & = 648 \\ 9 a - 3 b^{2} & = 678 \end{matrix}

Kalkulator

Bruk CAS til å bestemme $a$ og $b$ .

Fasit

Se løsningsforslag.

$a = \frac{422}{3} \approx 140,67, b = \pm 14$

LøsningsforslagKI-generert

Grafen til $f$ har et toppunkt i $(3, 3)$ . Det betyr at

Vi deriverer $f (x) = - 24 x^{3} + a x^{2} - b^{2} x - 27$ :

f^{'} (x) = - 72 x^{2} + 2 a x - b^{2}

Betingelse 1: $f^{'} (3) = 0$

- 72 \cdot 3^{2} + 2 a \cdot 3 - b^{2} = 0

- 648 + 6 a - b^{2} = 0

6 a - b^{2} = 648

Betingelse 2: $f (3) = 3$

- 24 \cdot 3^{3} + a \cdot 3^{2} - b^{2} \cdot 3 - 27 = 3

- 648 + 9 a - 3 b^{2} - 27 = 3

9 a - 3 b^{2} = 3 + 27 + 648

9 a - 3 b^{2} = 678

Dette er de to likningene vi skulle vise.

Vi løser likningssystemet

\begin{matrix} 6 a - b^{2} & = 648 \\ 9 a - 3 b^{2} & = 678 \end{matrix}

med CAS. Siden $b$ kun opptrer som $b^{2}$ , setter vi $u = b^{2}$ og løser det lineære systemet $6 a - u = 648$ , $9 a - 3 u = 678$ for $a$ og $u$ :

CAS-løsning av likningssystemet

CAS gir $a = \frac{422}{3}$ og $u = b^{2} = 196$ , altså $b = \pm \sqrt{196} = \pm 14$ .

a = \frac{422}{3} \approx 140,67 b = \pm 14

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2017, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Tredjegradsfunksjon, Likningssystem, CAS

Innstillinger