Vi tegner grafen til $f(x)=x^3+4x^2+4x+2$ i GeoGebra, med toppunkt, bunnpunkt og vendepunkt markert.

Vi deriverer $f$ for å finne eventuelle topp- og bunnpunkt:

$f^{\prime }(x)=0$ gir $x=-2$ eller $x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$.

For å avgjøre hva slags ekstremalpunkter dette er, bruker vi den andrederiverte:

$f^{\prime \prime }(-2)=-4<0$, så $x=-2$ gir et $\text{toppunkt}$. $f^{\prime \prime }(-{\displaystyle \frac{2}{3}})=4>0$, så $x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ gir et $\text{bunnpunkt}$.

Vi setter inn i $f$:

Vendepunktet finner vi der $f^{\prime \prime }(x)=0$:

Dette stemmer med koordinatene lest av grafen i a).

Toppunkt: $\underline{\underline{(-2,2)}}$ Bunnpunkt: $\underline{\underline{(-{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{22}{27}})}}$ Vendepunkt: $\underline{\underline{(-{\displaystyle \frac{4}{3}},{\displaystyle \frac{38}{27}})}}$

Vi bruker CAS til å derivere $g$ og løse $g^{\prime }(x)=0$ med hensyn på $x$, med $a$ som parameter. Grafen til $g$ har et toppunkt og et bunnpunkt hvis og bare hvis $g^{\prime }(x)=0$ har to ulike løsninger, altså at uttrykket under rottegnet er positivt.

Fra linje 3 ser vi at

Dette gir to ulike løsninger nettopp når $a^2-12>0$. CAS løser denne ulikheten i linje 4 (Betingelse), og gir

Vendepunktet til $g$ finner vi der $g^{\prime \prime }(x)=0$ (linje 5–6 i utklippet), som gir $x_V=-{\displaystyle \frac{a}{3}}$. Vi setter dette inn i $g$ for å finne $y$-koordinaten (linje 7):

Vi setter så samme $x$-verdi inn i $h$ (linje 9):

Dette er nøyaktig samme uttrykk som $y_V$. CAS bekrefter dette direkte i linje 10, der yV - h(xV) forenkles til $0$ for alle $a$.

Dermed ligger vendepunktet til $g$, $(-{\displaystyle \frac{a}{3}},{\displaystyle \frac{2}{27}}{a}^3-{\displaystyle \frac{4}{3}}a+2)$, alltid på grafen til $h$, uansett hvilken verdi $a$ har. $■$