Tredjegradsfunksjon fra punkt, toppunkt og tangent

Del 2 · oppgave 5
Mine oppgaver
Verktøy

Sync på tvers av enheter

Tredjegradsfunksjon fra punkt, toppunkt og tangent

Du får vite følgende om en tredjegradsfunksjon ff gitt ved

f(x)=a⋅x3+b⋅x2+c⋅x+df(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d
  • Grafen til ff går gjennom punktet (2, 6)(2,\ 6).
  • Punktet (−2, 8)(-2,\ 8) er et toppunkt på grafen til ff.
  • Tangenten til grafen til ff i punktet (3, f(3))(3,\ f(3)) har stigningstall 4.

Bruk opplysningene ovenfor til å bestemme aa, bb, cc og dd.

Fasit
f(x)=320x3+740x2−1110x+6310‾‾\underline{\underline{f(x) = \frac{3}{20}x^3 + \frac{7}{40}x^2 - \frac{11}{10}x + \frac{63}{10}}}
LøsningsforslagKI-generert

Vi kjenner f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d og f′(x)=3ax2+2bx+cf'(x) = 3ax^2 + 2bx + c.

De tre opplysningene gir fire likninger (toppunktet gir to — ett fra ff-verdien og ett fra at den deriverte er null):

f(2)=6:8a+4b+2c+d=6\textcolor{steelblue}{f(2) = 6:} \quad 8a + 4b + 2c + d = 6 f(−2)=8:−8a+4b−2c+d=8\textcolor{seagreen}{f(-2) = 8:} \quad {-8a} + 4b - 2c + d = 8 f′(−2)=0:12a−4b+c=0\textcolor{seagreen}{f'(-2) = 0:} \quad 12a - 4b + c = 0 f′(3)=4:27a+6b+c=4\textcolor{tomato}{f'(3) = 4:} \quad 27a + 6b + c = 4

Vi løser likningssystemet i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS — likningssystem og løsning

CAS gir:

a=320,b=740,c=−1110,d=6310a = \frac{3}{20}, \quad b = \frac{7}{40}, \quad c = -\frac{11}{10}, \quad d = \frac{63}{10}

Dermed er

f(x)=320x3+740x2−1110x+6310‾‾\underline{\underline{f(x) = \frac{3}{20}x^3 + \frac{7}{40}x^2 - \frac{11}{10}x + \frac{63}{10}}}
Sensorveiledning

I utgangspunktet knyttes ett poeng til hvert kulepunkt.

Oppgavedata
Kategori
2
Vanskegrad
2
Poeng
3
Temaer
funksjonsdrøfting, likningssystem, derivasjon
Kompetansemål
  • Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
  • Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar