Tredjegradsfunksjon faktorisering ulikhet og brøk

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6

Vi ser at $f(1) = 0$ . Bruk blant annet polynomdivisjon til å vise at

f(x) = (x-1)(x+2)(x+3)

Løs ulikheten $f(x) \le 0$ .

Forkort brøken mest mulig

\frac{x^3 + 4x^2 + x - 6}{2x^2 - 2}

Bruk blant annet det du viste i oppgave a), til å løse likningen

\mathrm{e}^{3x} + 4\mathrm{e}^{2x} + \mathrm{e}^x - 6 = 0

Fasit

$f(x) = (x-1)(x+2)(x+3)$ (vist ved polynomdivisjon)

$\underline{\underline{x \leq -3 \text{ eller } -2 \leq x \leq 1}}$

$\underline{\underline{\dfrac{(x+2)(x+3)}{2(x+1)}}}$

$\underline{\underline{x = 0}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi får oppgitt at $f(1) = 0$ , som betyr at $x = 1$ er et nullpunkt. Da er $(x - 1)$ en faktor i $f(x)$ .

Vi utfører polynomdivisjonen $f(x) : (x - 1)$ :

\left(x^3 + 4x^2 + x - 6\right) : (x - 1) = x^2 + 5x + 6

Vi faktoriserer $x^2 + 5x + 6$ ved å finne to tall som gir produktet $6$ og summen $5$ : tallene er $2$ og $3$ .

x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

Dermed er

\underline{\underline{f(x) = (x-1)(x+2)(x+3)}}

Vi løser $f(x) \leq 0$ ved hjelp av en fortegnslinje. Nullpunktene er $x = -3$ , $x = -2$ og $x = 1$ .

Vi setter opp fortegnslinjen og merker faktorenes fortegn i hvert intervall:

Intervall	$(x-1)$	$(x+2)$	$(x+3)$	$f(x)$
$x < -3$	$-$	$-$	$-$	$-$
$x = -3$	$-$	$-$	$0$	$0$
$-3 < x < -2$	$-$	$-$	$+$	$+$
$x = -2$	$-$	$0$	$+$	$0$
$-2 < x < 1$	$-$	$+$	$+$	$-$
$x = 1$	$0$	$+$	$+$	$0$
$x > 1$	$+$	$+$	$+$	$+$

$f(x) \leq 0$ der $f(x)$ er negativ eller lik null:

\underline{\underline{x \leq -3 \quad \text{eller} \quad -2 \leq x \leq 1}}

Vi faktoriserer telleren ved å bruke resultatet fra a):

x^3 + 4x^2 + x - 6 = (x-1)(x+2)(x+3)

Vi faktoriserer nevneren:

2x^2 - 2 = 2(x^2 - 1) = 2(x+1)(x-1)

Vi forkorter brøken ved å stryke faktoren $(x - 1)$ (som forutsetter $x \neq 1$ ):

\frac{x^3 + 4x^2 + x - 6}{2x^2 - 2} = \frac{(x-1)(x+2)(x+3)}{2(x+1)(x-1)} = \underline{\underline{\frac{(x+2)(x+3)}{2(x+1)}}}

Vi skriver om likningen ved å legge merke til at $e^{3x} = (e^x)^3$ , $e^{2x} = (e^x)^2$ og $e^x = e^x$ . Vi setter $y = e^x$ :

\begin{aligned} e^{3x} + 4e^{2x} + e^x - 6 &= 0 \\ (e^x)^3 + 4(e^x)^2 + e^x - 6 &= 0 \\ y^3 + 4y^2 + y - 6 &= 0 \end{aligned}

Fra a) vet vi at $y^3 + 4y^2 + y - 6 = (y-1)(y+2)(y+3)$ , så likningen har løsningene $y = 1$ , $y = -2$ og $y = -3$ .

Siden $e^x > 0$ for alle $x$ , er kun $y = 1$ en gyldig løsning ( $e^x$ kan ikke være $-2$ eller $-3$ ).

Fra $e^x = 1$ får vi:

x = \ln 1 = \underline{\underline{0}}

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter