Tredjegradsfunksjon ax i tredje pluss bx pluss 1 med ekstremalpunkt i x lik 2

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = a x^{3} + b x + 1

Du får vite at $f^{'} (1) = 3$ og at $f$ har et ekstremalpunkt i $x = 2$ .

Bestem koordinatene til eventuelle toppunkt og bunnpunkt på grafen til $f$ .

Fasit

Bunnpunkt $(- 2, - \frac{13}{3})$ og toppunkt $(2, \frac{19}{3})$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $f (x) = a x^{3} + b x + 1$ :

f^{'} (x) = 3 a x^{2} + b

Setter opp likningssystem

Vi bruker de to opplysningene vi har fått. Først at $f^{'} (1) = 3$ :

f^{'} (1) = 3 a \cdot 1^{2} + b = 3 a + b = 3

Siden $f$ har et ekstremalpunkt i $x = 2$ , må $f^{'} (2) = 0$ :

f^{'} (2) = 3 a \cdot 2^{2} + b = 12 a + b = 0

Vi løser likningssystemet

{\begin{matrix} 3 a + b & = 3 \\ 12 a + b & = 0 \end{matrix}

ved å trekke den første likningen fra den andre, slik at $b$ faller bort:

\begin{matrix} (12 a + b) - (3 a + b) & = 0 - 3 \\ 9 a & = - 3 \\ a & = - \frac{1}{3} \end{matrix}

Setter vi $a = - \frac{1}{3}$ inn i $3 a + b = 3$ , får vi

3 \cdot (- \frac{1}{3}) + b = 3 \Rightarrow - 1 + b = 3 \Rightarrow b = 4

Funksjonsuttrykket

f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + 1 f^{'} (x) = - x^{2} + 4

Kontroll: $f^{'} (1) = - 1 + 4 = 3$ ✓

Finner ekstremalpunktene

Vi setter $f^{'} (x) = 0$ :

\begin{matrix} - x^{2} + 4 & = 0 \\ x^{2} & = 4 \\ x & = \pm 2 \end{matrix}

Fortegnsdrøfting

Vi faktoriserer $f^{'} (x) = - (x - 2) (x + 2)$ og lager en fortegnslinje:

Fortegnslinje for f'(x) med sjablongkurve for f(x)

Siden $f$ går fra avtagende til voksende i $x = - 2$ , er dette et bunnpunkt. Siden $f$ går fra voksende til avtagende i $x = 2$ , er dette et toppunkt.

Funksjonsverdiene

f (- 2) = - \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 4 \cdot (- 2) + 1 = \frac{8}{3} - 8 + 1 = - \frac{13}{3}

f (2) = - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2 + 1 = - \frac{8}{3} + 8 + 1 = \frac{19}{3}

Grafen til $f$ har altså

bunnpunkt (- 2, - \frac{13}{3}) \approx (- 2; - 4,33) toppunkt (2, \frac{19}{3}) \approx (2; 6,33)

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2021, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Likningssystem, Funksjonsdrøfting, Parametere

Tredjegradsfunksjon ax i tredje pluss bx pluss 1 med ekstremalpunkt i x lik 2

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tredjegradsfunksjon ax i tredje pluss bx pluss 1 med ekstremalpunkt i x lik 2

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tredjegradsfunksjon ax i tredje pluss bx pluss 1 med ekstremalpunkt i x lik 2

Tredjegradsfunksjon ax i tredje pluss bx pluss 1 med ekstremalpunkt i x lik 2

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer