1) Kostnad for 1000 kopper

Vi setter $x=1000$ inn i hver av de tre funksjonene.

Det koster altså $\underline{\underline{4210\mathrm{kr}}}$ med maskin 1, $\underline{\underline{3820\mathrm{kr}}}$ med maskin 2 og $\underline{\underline{10270\mathrm{kr}}}$ med maskin 3 for å lage 1000 kopper kaffe.

2) Antall kopper for 10 000 kroner

Vi setter $K(x)=10000$ og løser likningen for hver maskin.

Maskin 1:

Siden vi ikke kan lage en brøkdel av en kopp, og pengene ikke skal overskrides, runder vi ned til $3136$ kopper.

Maskin 2:

Vi runder ned til $2980$ kopper.

Maskin 3:

Vi runder ned til $787$ kopper.

For $10000\mathrm{kr}$ kan du altså lage $\underline{\underline{3136}}$ kopper med maskin 1, $\underline{\underline{2980}}$ kopper med maskin 2 og $\underline{\underline{787}}$ kopper med maskin 3.

For å finne ut når det lønner seg å bytte fra en maskin til en annen, finner vi skjæringspunktene mellom kostnadsfunksjonene, altså hvor mange kopper som gir lik totalkostnad.

Maskin 1 og maskin 2:

Maskin 1 og maskin 3:

Maskin 2 og maskin 3:

Vi har altså tre skjæringspunkt: $x\approx 1951$, $x\approx 4486$ og $x\approx 5208$. For å finne ut hvilken maskin som faktisk er billigst i hvert intervall, setter vi inn et testtall i hvert intervall.

For $x<1951$ (f.eks. $x=0$): $K_2=700$ er lavest av de tre.

For $1951<x<5208$ (f.eks. $x=3000$): $K_1=9630$, $K_2=10060$, $K_3=12810$ — $K_1$ er lavest (maskin 2 er nå dyrere fordi driftsutgiften per kopp er høyere).

For $x>5208$ (f.eks. $x=6000$): $K_1=17760$, $K_3=16620$ — $K_3$ er lavest.

Skjæringspunktet mellom maskin 2 og maskin 3 ($x\approx 4486$) ligger altså i et intervall der maskin 1 allerede er billigere enn begge, og spiller derfor ingen rolle for hvilken maskin som lønner seg.

Konklusjon:

• Under $1951$ kopper lønner det seg å ha $\underline{\underline{\text{maskin 2}}}$.
• Mellom $1952$ og $5208$ kopper lønner det seg å ha $\underline{\underline{\text{maskin 1}}}$.
• Over $5209$ kopper lønner det seg å ha $\underline{\underline{\text{maskin 3}}}$.

Familien lager i gjennomsnitt $6$ kopper per dag. Over tre år (vi regner $365$ dager per år) blir antall kopper:

Fra b) vet vi at maskin 3 lønner seg når antall kopper er større enn ca. $5208$. Siden $6570>5208$, har familien for lengst passert vippepunktet mellom maskin 1 og maskin 3 etter tre år.

Vi kan også regne ut hvor lang tid det faktisk tar å nå vippepunktet på $5208$ kopper:

Det vil altså allerede etter omtrent $\mathrm{2,4}$ år lønne seg å ha kjøpt den dyreste maskinen (maskin 3) fremfor maskin 1. Vi sjekker dette ved å sette inn $x=6570$ i kostnadsfunksjonene:

Etter tre år har familien altså spart omtrent $19305-17344=1961\mathrm{kr}$ ved å velge maskin 3 fremfor maskin 1.

Fars påstand var at det lønner seg å kjøpe den dyreste maskinen dersom den varer i mer enn tre år. Siden vippepunktet faktisk kommer allerede etter ca. $\mathrm{2,4}$ år, vil maskinen definitivt ha lønnet seg innen tre år har gått — $\underline{\underline{\text{påstanden stemmer}}}$, selv om den egentlig lønner seg enda tidligere enn far antar.