Trappeformet søylefigur og riemannsummer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En figur består av $n$ søyler med kvadratiske ruter med side $\dfrac{1}{n}$ . Den første søylen inneholder én rute, den andre to ruter, og så videre. Søyle nummer $n$ inneholder $n$ ruter.

Figuren nedenfor er tegnet for $n = 5$

Trappeformet søylefigur med n=5 søyler

Bestem arealet av figuren ovenfor.

Forklar at det samlede arealet av $n$ søyler er

S_n = 1 \cdot \left(\frac{1}{n}\right)^2 + 2 \cdot \left(\frac{1}{n}\right)^2 + 3 \cdot \left(\frac{1}{n}\right)^2 + \cdots + n \cdot \left(\frac{1}{n}\right)^2

Vis at summen av rekken kan skrives $S_n = \dfrac{n+1}{2n}$

Bruk rekken til å bestemme $S_5$ . Kommenter svaret.

Vis at $\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{2}$

Bruk også et geometrisk resonnement til å begrunne at svaret er riktig.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Integrasjon, Rekker, Grenseverdi, Bevis, Argumentasjon

Trappeformet søylefigur og riemannsummer

Sync på tvers av enheter

Trappeformet søylefigur og riemannsummer

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave