Caroline driver et cateringfirma og kjøper ofte poser med frosne torskefileter. La $X$ være antall torskefileter i en tilfeldig valgt pose. Sannsynlighetsfordelingen til $X$ er gitt i tabellen nedenfor.

$k$	5	6	7	8	9
$P(X=k)$	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

a)

Regn ut forventningsverdien til $X$. Hva forteller dette svaret?

b)

Vis at variansen til $X$ er 1,2.

La $S$ være det totale antallet torskefileter i 120 tilfeldig valgte poser. Vi antar at antall torskefileter i de ulike posene er uavhengig av hverandre.

c)

Begrunn at $\text{E}(S)=840$, og at $\text{Var}(S)=144$.

En uke trenger Caroline 822 torskefileter. Hun bestiller derfor 120 poser.

d)

Begrunn at $S$ er tilnærmet normalfordelt, og bruk dette til å bestemme sannsynligheten for at Caroline får nok torskefileter denne uken.

Fasit

a)

$\text{E}(X)=7$

b)

$\text{Var}(X)=\mathrm{1,2}$

c)

$\text{E}(S)=840$, $\text{Var}(S)=144$

d)

$P(S\ge 822)\approx \mathrm{0,933}$

LøsningsforslagKI-generert

a)

$$\text{E}(X)=5\cdot \mathrm{0,1}+6\cdot \mathrm{0,2}+7\cdot \mathrm{0,4}+8\cdot \mathrm{0,2}+9\cdot \mathrm{0,1}$$

$$=\mathrm{0,5}+\mathrm{1,2}+\mathrm{2,8}+\mathrm{1,6}+\mathrm{0,9}=\underline{\underline{7}}$$

Forventningsverdien forteller at man i gjennomsnitt får 7 torskefileter per pose.

b)

$$\text{E}(X^2)=25\cdot \mathrm{0,1}+36\cdot \mathrm{0,2}+49\cdot \mathrm{0,4}+64\cdot \mathrm{0,2}+81\cdot \mathrm{0,1}$$

$$=\mathrm{2,5}+\mathrm{7,2}+\mathrm{19,6}+\mathrm{12,8}+\mathrm{8,1}=\mathrm{50,2}$$

$$\text{Var}(X)=\text{E}(X^2)-{[\text{E}(X)]}^2=\mathrm{50,2}-49=\mathrm{1,2}$$

c)

$S=X_1+X_2+\cdots +X_{120}$, der $X_i$ er uavhengige med samme fordeling som $X$.

$$\text{E}(S)=120\cdot \text{E}(X)=120\cdot 7=840$$

$$\text{Var}(S)=120\cdot \text{Var}(X)=120\cdot \mathrm{1,2}=144$$

d)

Siden $S$ er summen av 120 uavhengige, identisk fordelte stokastiske variabler og $n=120\ge 30$, følger det av sentralgrensesetningen at $S$ er tilnærmet normalfordelt med $\text{E}(S)=840$ og $\text{SD}(S)=\sqrt{144}=12$.

$$P(S\ge 822)=P(Z\ge \frac{822-840}{12})=P(Z\ge -\mathrm{1,5})=P(Z\le \mathrm{1,5})\approx \underline{\underline{\mathrm{0,933}}}$$

Det er ca. 93 % sannsynlighet for at Caroline får nok torskefileter.