Torgeirs kryptoinvestering med logaritmemodell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Torgeir har investert i kryptovaluta. Funksjonen $B$ gitt ved

B (x) = 36 000 \cdot \lg (\frac{x + 2}{2}) + 72 000

er en modell for verdien (i kroner) av investeringen, $x$ måneder etter at han gjorde investeringen.

Hva er verdien av investeringen etter $18$ måneder ifølge modellen?

Hvor lang tid vil det ta før verdien av investeringen har doblet seg, ifølge modellen?

Fasit

$B (18) = 108 000 kr$

$x = 198 måneder$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $x = 18$ inn i uttrykket for $B (x)$ :

B (18) = 36 000 \cdot \lg (\frac{18 + 2}{2}) + 72 000 = 36 000 \cdot \lg (10) + 72 000

Siden $\lg (10) = 1$ , får vi

B (18) = 36 000 \cdot 1 + 72 000 = 108 000

Ifølge modellen er investeringen verdt $108 000 kr$ etter $18$ måneder.

Vi finner først startverdien av investeringen, altså $B (0)$ :

B (0) = 36 000 \cdot \lg (\frac{0 + 2}{2}) + 72 000 = 36 000 \cdot \lg (1) + 72 000

Siden $\lg (1) = 0$ , blir startverdien

B (0) = 72 000

Verdien er doblet når $B (x) = 2 \cdot 72 000 = 144 000$ . Vi løser likningen:

\begin{matrix} 36 000 \cdot \lg (\frac{x + 2}{2}) + 72 000 & = 144 000 \\ 36 000 \cdot \lg (\frac{x + 2}{2}) & = 72 000 \\ \lg (\frac{x + 2}{2}) & = 2 \end{matrix}

Vi bruker definisjonen av $\lg$ (logaritme med grunntall $10$ ) til å fjerne logaritmen:

\frac{x + 2}{2} = 10^{2} = 100

x + 2 = 200

x = 198

Ifølge modellen vil det ta $198 måneder$ før verdien av investeringen har doblet seg.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2022, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Logaritmer, Logaritmelikning, Modellering

Innstillinger