Toppunkt for andregradsfunksjon med parameter a i førstegradsleddet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal du velge enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.

Alternativ I

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = - 2 x^{2} + a x + 4

For hånd

Finn $f^{'} (x)$ . Bruk den deriverte til å finne toppunktet til $f$ når $a = 2$ .

For hånd

Bestem verdien av $a$ slik at $x$ -koordinaten til toppunktet er $- 1$ .

For hånd

For hvilken verdi av $a$ har $y$ -koordinaten til toppunktet lavest verdi?

Fasit

$f^{'} (x) = - 4 x + a, toppunkt (0,5, 4,5) når a = 2$

$a = - 4$

$a = 0 gir lavest y -koordinat$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $f (x) = - 2 x^{2} + a x + 4$ :

f^{'} (x) = - 4 x + a

I et toppunkt er den deriverte lik null. Når $a = 2$ :

f^{'} (x) = - 4 x + 2 = 0 \Rightarrow x = 0,5

Vi setter $x = 0,5$ og $a = 2$ inn i $f (x)$ for å finne $y$ -koordinaten:

f (0,5) = - 2 \cdot {0,5}^{2} + 2 \cdot 0,5 + 4 = - 0,5 + 1 + 4 = 4,5

Toppunktet er (0,5, 4,5) når a = 2

Toppunktets $x$ -koordinat skal være $- 1$ , altså skal $f^{'} (- 1) = 0$ :

f^{'} (- 1) = - 4 \cdot (- 1) + a = 4 + a

4 + a = 0 \Rightarrow a = - 4

a = - 4

Toppunktets $x$ -koordinat er der $f^{'} (x) = 0$ :

- 4 x + a = 0 \Rightarrow x = \frac{a}{4}

Vi setter $x = \frac{a}{4}$ inn i $f (x)$ for å finne $y$ -koordinaten som funksjon av $a$ :

f (\frac{a}{4}) = - 2 \cdot {(\frac{a}{4})}^{2} + a \cdot \frac{a}{4} + 4 = - \frac{2 a^{2}}{16} + \frac{a^{2}}{4} + 4 = - \frac{a^{2}}{8} + \frac{2 a^{2}}{8} + 4

y = \frac{a^{2}}{8} + 4

Dette uttrykket er minst når $a^{2}$ er minst, altså når $a^{2} = 0$ , som gir $a = 0$ . Da blir $y$ -koordinaten $\frac{0}{8} + 4 = 4$ .

a = 0 gir lavest verdi av y -koordinaten (y = 4)

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2010, del 2, oppgave 8-I
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Andregradsfunksjon, Derivasjon, Parametere, Optimering

Innstillinger