Et gartneri selger poser med tomatfrø. La $X$ være antall tomatfrø i en tilfeldig valgt pose. Sannsynlighetsfordelingen til $X$ er gitt i tabellen nedenfor.

$k$	6	7	8	9	10
$P(X=k)$	0,1	0,1	0,6	0,1	0,1

a)

Bestem forventningsverdien $\text{E}(X)$, og vis at standardavviket er $\text{SD}(X)=1$. Hva forteller $\text{E}(X)$ oss?

Eline ønsker å kjøpe 49 slike frøposer. Posene vil hun nummerere fra 1 til 49. La $X_i$ være antall frø i pose nummer $i$. Vi antar at $X_i$-ene er uavhengige av hverandre. Det totale antallet frø i de 49 posene er gitt ved den stokastiske variabelen

b)

Begrunn at $S$ er tilnærmet normalfordelt. Vis at $\text{E}(S)=392$ og $\text{SD}(S)=\mathrm{7,0}$.

Eline har et drivhus der hun har plass til 400 potter som hun vil plante frøene i.

c)

Bestem sannsynligheten for at Eline får nok frø til alle pottene sine.

Fasit

a)

$\text{E}(X)=8$, $\text{SD}(X)=1$

b)

$\text{E}(S)=392$, $\text{SD}(S)=\mathrm{7,0}$

c)

$P(S\ge 400)\approx \mathrm{0,1265}$

LøsningsforslagKI-generert

a)

$$\text{E}(X)=\sum k\cdot P(X=k)=6\cdot \mathrm{0,1}+7\cdot \mathrm{0,1}+8\cdot \mathrm{0,6}+9\cdot \mathrm{0,1}+10\cdot \mathrm{0,1}$$

$$=\mathrm{0,6}+\mathrm{0,7}+\mathrm{4,8}+\mathrm{0,9}+\mathrm{1,0}=\underline{\underline{8}}$$

$\text{E}(X)=8$ forteller oss at det i gjennomsnitt er 8 tomatfrø i en pose.

Vi beregner variansen:

$$\text{E}(X^2)=6^2\cdot \mathrm{0,1}+7^2\cdot \mathrm{0,1}+8^2\cdot \mathrm{0,6}+9^2\cdot \mathrm{0,1}+{10}^2\cdot \mathrm{0,1}$$

$$=\mathrm{3,6}+\mathrm{4,9}+\mathrm{38,4}+\mathrm{8,1}+\mathrm{10,0}=65$$

$$\text{Var}(X)=\text{E}(X^2)-{[\text{E}(X)]}^2=65-64=1$$

$$\underline{\underline{\text{SD}(X)=\sqrt{1}=1}}$$

b)

$S$ er summen av 49 uavhengige, identisk fordelte stokastiske variable. Ifølge sentralgrenseteoremet er $S$ tilnærmet normalfordelt når $n$ er tilstrekkelig stor. Med $n=49$ er tilnærmingen god.

$$\text{E}(S)=49\cdot \text{E}(X)=49\cdot 8=\underline{\underline{392}}$$

$$\text{Var}(S)=49\cdot \text{Var}(X)=49\cdot 1=49$$

$$\underline{\underline{\text{SD}(S)=\sqrt{49}=\mathrm{7,0}}}$$

c)

Eline trenger minst 400 frø, så vi skal finne $P(S\ge 400)$.

$S$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu =392$ og $\sigma =7$.

$$z=\frac{400-392}{7}=\frac{8}{7}\approx \mathrm{1,14}$$

$$P(S\ge 400)=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,14})\approx 1-\mathrm{0,8735}$$

$$\underline{\underline{P(S\ge 400)\approx \mathrm{0,1265}}}$$

Det er ca. 12,7 % sannsynlighet for at Eline får nok frø til alle 400 pottene.