Tolk og fiks program som finner bunnpunkt

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x)=2x^{2}-9x-2

Egil ønsker å lage et program som regner ut koordinatene til bunnpunktet på grafen til $f$ . Han har skrevet koden nedenfor.

def f(x):
    return 2*x**2 - 9*x - 2

def df(x,h):
    return (f(x+h) - f(x))/h

h = 0.001
a = 0

while df(a,h) < 0:
    a = a + 1
    
print("Bunnpunktet er", (a, f(a)))

Programmet gir utskriften Bunnpunktet er (3, -11)

Forklar hvilken strategi Egil har brukt.

Svaret han får, er ikke riktig.

Foreslå en endring i koden som vil gi Egil et riktigere svar.

Fasit

Egil sjekker om grafen synker ved å beregne tilnærmet stigningstall. Løkken stopper ved $a = 3$ , og programmet printer $(3, -11)$ .

Endre a = a + 1 til a = a + 0.01

Løsningsforslag

Funksjonen df(x, h) beregner et tilnærmet stigningstall (den deriverte) i punktet $x$ :

\texttt{df}(a, h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Egils strategi er å starte i $a = 0$ og flytte seg til høyre i steg på 1. Så lenge df(a, h) < 0 synker grafen — man har altså ikke nådd bunnpunktet ennå. Når stigningstallet ikke lenger er negativt (grafen har sluttet å synke), betyr det at bunnpunktet er passert, og løkken stopper.

Det ekte bunnpunktet ligger i $x = 2{,}25$ . Siden $a$ øker fra 0 i heltallssteg, er verdiene som testes $a = 0, 1, 2, 3$ . Ved $a = 2$ er df(2, 0.001) $\approx 4 \cdot 2 - 9 = -1 < 0$ , så løkken fortsetter. Ved $a = 3$ er df(3, 0.001) $\approx 4 \cdot 3 - 9 = 3 > 0$ , og betingelsen df(a, h) < 0 er usann — løkken stopper.

Programmet printer derfor $(3,\ f(3)) = (3,\ -11)$ , selv om det ekte bunnpunktet er $(2{,}25,\ -12{,}125)$ .

Problemet er at steglengden $1$ er for stor — programmet «hopper over» bunnpunktet. Ved å bruke et mindre steg vil $a$ komme mye nærmere $x = 2{,}25$ når løkken stopper.

Endre linje 8 fra

    a = a + 1

til

    a = a + 0.01

Da stopper løkken ved $a \approx 2{,}25$ og programmet printer et bunnpunkt som er langt nærmere det ekte svaret $\mathbf{(2{,}25,\ -12{,}125)}$ .

Sensorveiledning

2 poeng

Kandidaten trenger ikke å forklare hver linje for å få full uttelling. Kandidater som er upresise i forklaringen kan gi 1 poeng.

2 poeng

Forslag til endring i koden uten begrunnelse, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: programmering, derivasjon
Kompetansemål: Bestemme den deriverte i et punkt geometrisk, algebraisk og ved numeriske metoder, og gi eksempler på funksjoner som ikke er deriverbare i gitte punkter