Vi deriverer ${\displaystyle \frac{x}{1-x}}$ med kvotientregelen, med $u(x)=x$ og $v(x)=1-x$:

Siden den deriverte av ${\displaystyle \frac{x}{1-x}}$ er ${\displaystyle \frac{1}{{(1-x)}^2}}$, er ${\displaystyle \frac{x}{1-x}}+C_1$ en antiderivert av ${\displaystyle \frac{1}{{(1-x)}^2}}$, altså

Vi substituerer $u=1-x$, som gir $\mathrm{d}u=-\mathrm{d}x$, altså $\mathrm{d}x=-\mathrm{d}u$:

Vi setter tilbake $u=1-x$:

Begge formlene er riktige fordi to antideriverte av samme funksjon alltid kan skille seg med en konstant. Vi sjekker differansen mellom de to uttrykkene:

Altså er

Dette betyr at ${\displaystyle \frac{x}{1-x}}+C_1$ og ${\displaystyle \frac{1}{1-x}}+C_2$ er samme funksjon dersom $C_1=C_2+1$. Siden $C_1$ og $C_2$ begge kan være en hvilken som helst reell konstant, dekker de to uttrykkene nøyaktig de samme funksjonene, og begge formler for det ubestemte integralet er derfor sanne samtidig.

$\underline{\underline{{\displaystyle \frac{x}{1-x}}={\displaystyle \frac{1}{1-x}}-1,\text{ altså }{C}_1=C_2+1}}$