To golfballer vektorfunksjoner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

To golfballer blir slått ut samtidig fra et tak som er 20 meter over bakkenivå.

Posisjonen til ball 1 er gitt ved vektorfunksjonen

{\vec{r}}_{1} (t) = [17 t, - 5 t^{2} + 29 t + 20]

Posisjonen til ball 2 er gitt ved vektorfunksjonen

{\vec{r}}_{2} (t) = [24 t, - 5 t^{2} + 25 t + 20]

Her er $t$ tiden (målt i sekunder) etter at ballene ble slått ut fra taket, og koordinatene er gitt i meter. Førstekoordinaten er posisjon i horisontal retning, og andrekoordinaten er høyden til ballen over bakkenivå.

Kalkulator

Hvor lang tid tar det før hver av golfballene treffer bakken?

Kalkulator

Tegn grafene til ${\vec{r}}_{1}$ og ${\vec{r}}_{2}$ .

Kalkulator

Bestem banefarten til hver av de to golfballene idet de forlater taket.

Ved et tidspunkt vil de to golfballene ha samme fartsretning.

Kalkulator

Bestem dette tidspunktet. Hvilken vinkel danner da fartsvektorene med $x$ -aksen?

Fasit

$t_{1} \approx 6,42 s, t_{2} \approx 5,70 s$

Se graf i løsningsforslaget.

$v_{1} (0) \approx 33,6 m / s, v_{2} (0) \approx 34,7 m / s$

$t \approx 3,87 s, vinkel \approx 29,7 ° under x -aksen$

LøsningsforslagKI-generert

Golfballen treffer bakken når andrekoordinaten (høyden) er lik null.

For ball 1:

- 5 t^{2} + 29 t + 20 = 0

Vi bruker abc-formelen med $a = - 5$ , $b = 29$ , $c = 20$ :

t = \frac{- 29 \pm \sqrt{29^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 20}}{2 \cdot (- 5)} = \frac{- 29 \pm \sqrt{1241}}{- 10}

Siden $t$ må være positiv, får vi

t_{1} = \frac{29 + \sqrt{1241}}{10} \approx 6,42 s

For ball 2:

- 5 t^{2} + 25 t + 20 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 5 t - 4 = 0

t = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 16}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2}

Siden $t$ må være positiv, får vi

t_{2} = \frac{5 + \sqrt{41}}{2} \approx 5,70 s

Ball 1 er dermed i lufta i omtrent $6,42 s$ , mens ball 2 er i lufta i omtrent $5,70 s$ .

Grafene til ${\vec{r}}_{1}$ og ${\vec{r}}_{2}$ tegnes som parameterframstillinger for $t$ fra $0$ til landingstidspunktet til hver ball ( $t_{1} \approx 6,42$ og $t_{2} \approx 5,70$ ).

Baner til de to golfballene

Den blå kurven er banen til ball 1 ( ${\vec{r}}_{1}$ ), og den røde kurven er banen til ball 2 ( ${\vec{r}}_{2}$ ). Begge starter i $(0, 20)$ , og ball 2 flyr lengst før den treffer bakken siden den har størst fart i horisontal retning.

Banefarten (farten langs banen) er lengden av fartsvektoren $\vec{r}^{'} (t)$ .

Vi deriverer:

{\vec{r}}_{1}^{'} (t) = [17, - 10 t + 29] {\vec{r}}_{2}^{'} (t) = [24, - 10 t + 25]

Idet ballene forlater taket er $t = 0$ :

{\vec{r}}_{1}^{'} (0) = [17, 29] {\vec{r}}_{2}^{'} (0) = [24, 25]

Banefarten er lengden av disse vektorene:

| {\vec{r}}_{1}^{'} (0) | = \sqrt{17^{2} + 29^{2}} = \sqrt{1130} \approx 33,6 m / s

| {\vec{r}}_{2}^{'} (0) | = \sqrt{24^{2} + 25^{2}} = \sqrt{1201} \approx 34,7 m / s

Fartsvektorene ${\vec{r}}_{1}^{'} (t) = [17, - 10 t + 29]$ og ${\vec{r}}_{2}^{'} (t) = [24, - 10 t + 25]$ er parallelle når de er proporsjonale, det vil si når kryssproduktet (determinanten) er null:

17 \cdot (- 10 t + 25) - 24 \cdot (- 10 t + 29) = 0

- 170 t + 425 + 240 t - 696 = 0

70 t - 271 = 0

t = \frac{271}{70} \approx 3,87 s

Dette tidspunktet ligger innenfor flytiden til begge ballene, så svaret er gyldig.

Vi setter inn $t = \frac{271}{70}$ i ${\vec{r}}_{1}^{'} (t)$ :

{\vec{r}}_{1}^{'} (\frac{271}{70}) = [17, - \frac{68}{7}]

Vinkelen $v$ fartsvektoren danner med $x$ -aksen finner vi ved

\tan (v) = \frac{- 68 / 7}{17} = - \frac{4}{7}

v = \tan^{- 1} (- \frac{4}{7}) \approx - 29,7 °

Fartsvektorene danner altså en vinkel på omtrent $29,7 °$ under $x$ -aksen når de er parallelle — begge baller er da på vei nedover.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2019, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Vektorer, Derivasjon, Modellering

To golfballer vektorfunksjoner

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

To golfballer vektorfunksjoner

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

To golfballer vektorfunksjoner

To golfballer vektorfunksjoner

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer