To fly vektorfunksjoner fart og kollisjon
Lov på eksamen
- Kalkulator
- CAS
- Graftegner og regneark
- Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kan den løses uten PC?
Alle deloppgavene kan løses uten PC.
Fra 2027 er det bare kalkulator og skriftlige hjelpemidler på del 2. Vurderingen er gjort med KI og kan inneholde feil.
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Posisjonen til et fly A og posisjonen til et fly B beskrives av vektorfunksjonene og gitt ved
Fly A skal lette, mens fly B skal lande (ved tidspunkt ). Tiden måles i timer, og alle avstander måles i kilometer. Nedenfor ser du hvordan kursen er for de to flyene. -aksen ligger langs landingsbanen, mens høyden over landingsbanen måles langs -aksen.

Bestem tidspunktet for når fly B lander.
Bestem farten til fly B når
Vi ser at flyenes kurs krysser hverandre i punkt .
Avgjør om flyene vil kollidere.
Fasit
LøsningsforslagKI-generert
Hele CAS-utregningen er samlet i skjermbildet under, og linjenumrene under viser til dette.

Fly B lander når høyden over bakken, altså -komponenten til , er lik null:
Fra linje 1 i CAS-utklippet ser vi at likningen har den doble løsningen
At løsningen er dobbel () betyr at grafen til -komponenten bare tangerer -aksen — flyet lander «pent» uten å gå under bakken. Dermed er
Farten til fly B er størrelsen (lengden) av fartsvektoren . Vi deriverer komponentvis:
Dette er lagt inn som bDeriv(t) i linje 2. I linje 3 settes inn:
Farten er lengden av denne vektoren, beregnet i linje 4:
Flyene kolliderer bare dersom de befinner seg i samme punkt til samme tid. Kursene til flyene (settet av punkter de passerer gjennom) kan derimot krysse hverandre i punktet uten at flyene er der samtidig. Vi bruker derfor to forskjellige tidsvariabler — for fly A og for fly B — og finner først hvor kursene krysser hverandre:
Fra den første likningen får vi . Setter vi dette inn i den andre likningen og løser med CAS (utenfor utklippet, se linje 5 for selve løsningen for ), får vi to løsninger for . Bare én av dem gir en -verdi som ligger i det gyldige tidsintervallet :
Denne verdien for er lagt inn i linje 6 og 7 for å finne tidspunktet for fly A og koordinatene til skjæringspunktet :
Fly A er altså i punkt ved timer, mens fly B er i samme punkt først ved timer — det vil si ca. timer sekunder senere. Siden befinner flyene seg i punkt på to ulike tidspunkt: fly A har passert punktet lenge før fly B kommer dit.