To fly vektorfunksjoner fart og kollisjon

Del 2, alle hjelpemidler

To fly vektorfunksjoner fart og kollisjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Posisjonen til et fly A og posisjonen til et fly B beskrives av vektorfunksjonene a→(t) og b→(t) gitt ved

a→(t)=[70t+2, 140t2],t∈[0,t1]
b→(t)=[−204t+17, 432t2−72t+3],t∈[0,t1]

Fly A skal lette, mens fly B skal lande (ved tidspunkt t1). Tiden måles i timer, og alle avstander måles i kilometer. Nedenfor ser du hvordan kursen er for de to flyene. x-aksen ligger langs landingsbanen, mens høyden over landingsbanen måles langs y-aksen.

Kursen til fly A og fly B

Hjelpemiddelkrav: Kalkulator

Bestem tidspunktet t1 for når fly B lander.

Hjelpemiddelkrav: Kalkulator

Bestem farten til fly B når t=0,08

Vi ser at flyenes kurs krysser hverandre i punkt P.

Hjelpemiddelkrav: Kalkulator

Avgjør om flyene vil kollidere.

Fasit

t1=112≈0,0833 timer(5 minutter)

v≈204,0km/h

Flyene kolliderer ikke

LøsningsforslagKI-generert

Hele CAS-utregningen er samlet i skjermbildet under, og linjenumrene under viser til dette.

CAS-utregning for fly A og fly B

Fly B lander når høyden over bakken, altså y-komponenten til b→(t), er lik null:

432t2−72t+3=0

Fra linje 1 i CAS-utklippet ser vi at likningen har den doble løsningen

t=112≈0,0833

At løsningen er dobbel (diskriminanten er 0) betyr at grafen til y-komponenten bare tangerer x-aksen — flyet lander «pent» uten å gå under bakken. Dermed er

t1=112time≈0,0833time=5min

t1=112≈0,0833 timer

Farten til fly B er størrelsen (lengden) av fartsvektoren b→′(t). Vi deriverer komponentvis:

b→′(t)=(−204,864t−72)

Dette er lagt inn som bDeriv(t) i linje 2. I linje 3 settes t=0,08 inn:

b→′(0,08)=(−204,−2,88)

Farten er lengden av denne vektoren, beregnet i linje 4:

v=|b→′(0,08)|=(−204)2+(−2,88)2≈204,02

v≈204,0km/h

Flyene kolliderer bare dersom de befinner seg i samme punkt til samme tid. Kursene til flyene (settet av punkter de passerer gjennom) kan derimot krysse hverandre i punktet P uten at flyene er der samtidig. Vi bruker derfor to forskjellige tidsvariabler — u for fly A og v for fly B — og finner først hvor kursene krysser hverandre:

a→(u)=b→(v)⇒{70u+2=−204v+17140u2=432v2−72v+3

Fra den første likningen får vi u=15−204v70. Setter vi dette inn i den andre likningen og løser med CAS (utenfor utklippet, se linje 5 for selve løsningen for v), får vi to løsninger for v. Bare én av dem gir en u-verdi som ligger i det gyldige tidsintervallet [0,t1]:

v=75−1051104≈0,05865

Denne verdien for v er lagt inn i linje 6 og 7 for å finne tidspunktet u for fly A og koordinatene til skjæringspunktet P:

u≈0,04336P≈(5,0354,0,2632)

Fly A er altså i punkt P ved u≈0,0434 timer, mens fly B er i samme punkt først ved v≈0,0587 timer — det vil si ca. 0,0153 timer ≈55 sekunder senere. Siden u≠v befinner flyene seg i punkt P på to ulike tidspunkt: fly A har passert punktet lenge før fly B kommer dit.

Flyene kolliderer ikke — fly A passerer P omtrent 55 sekunder før fly B.

Forstå oppgaven med en KI

Du får en ferdig tekst du limer inn i den KI-chatboten du bruker. Teksten inneholder oppgaven og en instruks om at chatboten skal hjelpe deg å tenke selv — stille spørsmål, gi ett hint av gangen og la deg gjøre regningen.

Anbefalt. Chatboten får beskjed om å bruke det til å veilede deg riktig vei — ikke til å røpe svaret. Du kan slå det av hvis du vil være helt sikker på at ingenting lekker.

Hva du bør vite
  • Ingenting sendes herfra. Teksten kopieres bare til utklippstavla på enheten din. Det du limer inn i en chatbot, går til den tjenesten — og de har sine egne regler for hva de lagrer.
  • Ikke lim inn personopplysninger — navn, skole eller noe annet om deg selv eller andre. Oppgaveteksten holder.
  • KI kan ta feil, også i matematikk. Sjekk alltid mot løsningsforslaget her på siden.
  • Er du usikker på om du har lov til å bruke KI på skolearbeidet ditt, spør læreren din først.

Tastatursnarveier

Navigasjon

⌘K / Ctrl+K
Åpne søk
G F
Gå til Fag
G E
Gå til Eksamener
G T
Gå til Temaer
G K
Gå til Kompetansemål
G H
Hjem
?
Vis snarveier

I oppgave

←/→ · J/K
Forrige / neste oppgave
0
Marker som ikke prøvd
1
Marker som prøvd
2
Marker som trenger hjelp
3
Marker som ferdig
S
Vis / skjul løsningsforslag
A
Legg til i liste
N
Skriv notat
Esc
Tilbake / avslutt