To båter og minste avstand med posisjonsvektorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Posisjonen til to båter $A$ og $B$ er gitt ved

{\vec{r}}_{A} (t) = [18 t - 8, 10 - 3 t]

{\vec{r}}_{B} (t) = [10 t, 20 - 6 t]

Alle lengdemål er gitt i kilometer, og tiden $t$ er gitt i timer.

Kalkulator

Bestem farten (banefarten) til hver av båtene.

For hånd

Forklar at avstanden $d$ mellom båtene er gitt ved

d (t) = \sqrt{{(8 t - 8)}^{2} + {(3 t - 10)}^{2}}

Kalkulator

Når er denne avstanden minst? Hvor langt fra hverandre er båtene da?

Fasit

$v_{A} \approx 18,25 k m / t, v_{B} \approx 11,66 k m / t$

Se utledning i løsningsforslaget.

$t = \frac{94}{73} \approx 1,29 timer, d_{\min} \approx 6,55 km$

LøsningsforslagKI-generert

Farten (banefarten) til en båt er lengden av hastighetsvektoren, som er den deriverte av posisjonsvektoren.

{\vec{v}}_{A} (t) = {\vec{r}}_{A}^{'} (t) = [18, - 3] {\vec{v}}_{B} (t) = {\vec{r}}_{B}^{'} (t) = [10, - 6]

Siden begge hastighetsvektorene er konstante, er farten den samme for alle $t$ :

v_{A} = | {\vec{v}}_{A} | = \sqrt{18^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{333} \approx 18,25 k m / t

v_{B} = | {\vec{v}}_{B} | = \sqrt{10^{2} + {(- 6)}^{2}} = \sqrt{136} \approx 11,66 k m / t

$v_{A} \approx 18,25 k m / t$ og $v_{B} \approx 11,66 k m / t$ .

Avstanden mellom de to båtene er lengden av vektoren fra $B$ til $A$ , altså ${\vec{r}}_{A} (t) - {\vec{r}}_{B} (t)$ :

{\vec{r}}_{A} (t) - {\vec{r}}_{B} (t) = [18 t - 8 - 10 t, 10 - 3 t - (20 - 6 t)] = [8 t - 8, 3 t - 10]

Avstanden $d (t)$ er lengden av denne vektoren:

d (t) = | {\vec{r}}_{A} (t) - {\vec{r}}_{B} (t) | = \sqrt{{(8 t - 8)}^{2} + {(3 t - 10)}^{2}}

som er det vi skulle vise.

Siden kvadratroten er en voksende funksjon, er $d (t)$ minst når $d {(t)}^{2}$ er minst. Vi skriver om uttrykket under rottegnet:

d {(t)}^{2} = {(8 t - 8)}^{2} + {(3 t - 10)}^{2} = 73 t^{2} - 188 t + 164

Dette er en $a n d r e g r a d s f u n k s j o n$ med positiv ledende koeffisient ( $73 > 0$ ), så den har et minimum. Vi deriverer og setter lik null:

\frac{d}{d t} (d {(t)}^{2}) = 146 t - 188 = 0 \Rightarrow t = \frac{188}{146} = \frac{94}{73} \approx 1,29 timer

Dette bekreftes med Min(d, 0, 3) i GeoGebra CAS, som gir minimumspunktet $(1,28767, 6,5543)$ direkte, se skjermbildet under.

GeoGebra CAS

Minste avstand mellom båtene er altså

d_{\min} = d (\frac{94}{73}) \approx 6,55 km

Dette skjer etter $t = \frac{94}{73} \approx 1,29$ timer, altså om lag $1$ time og $17$ minutter.

$t \approx 1,29 timer og d_{\min} \approx 6,55 km$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Kandidaten trenger ikke regne om til timer og minutter for å få full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2015, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Parameterframstilling, Optimering

To båter og minste avstand med posisjonsvektorer

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

To båter og minste avstand med posisjonsvektorer

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

To båter og minste avstand med posisjonsvektorer

To båter og minste avstand med posisjonsvektorer

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer