Antakelser og forenklinger

For å kunne regne på problemstillingen gjør vi noen forenklinger:

• Bilen holder konstant fart hele strekningen, både ved fartsgrensen og ved fartsgrensen $+10\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ (vi ser bort fra akselerasjon, oppbremsing, kryss og rødt lys).
• Fartsøkningen er alltid nøyaktig $10\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ over fartsgrensen, uansett hvilken fartsgrense det er snakk om.
• Vi bruker sammenhengen mellom distanse, fart og tid,

der $s$ er distansen i $\mathrm{km}$, $v$ er farten i $\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ og $t$ er tiden i timer. Tiden regnes om til minutter ved å multiplisere med $60$.

• Vi sammenlikner tidsbruken for fire vanlige fartsgrenser i Norge ($30$, $50$, $80$ og $100\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$) og fem ulike distanser ($1$, $5$, $10$, $20$ og $50\mathrm{k}\mathrm{m}$).

Regneark

Vi setter opp et regneark med én rad per kombinasjon av fartsgrense og distanse. Kolonnene er:

• A: Fartsgrense $v$ (km/h)
• B: Fartsgrense $+10$ (km/h), $=𝙰+\mathrm{𝟷𝟶}$
• C: Distanse $s$ (km)
• D: Tid ved fartsgrensen, $=𝙲/𝙰\cdot \mathrm{𝟼𝟶}$ (min)
• E: Tid ved fartsgrensen $+10$, $=𝙲/𝙱\cdot \mathrm{𝟼𝟶}$ (min)
• F: Tidsbesparelse, $=𝙳-𝙴$ (min)

Regnearket med formlene som ligger bak beregningene:

Konklusjon

Ser vi på en fast distanse, for eksempel $10\mathrm{k}\mathrm{m}$, blir tidsbesparelsen ved å kjøre $10\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ for fort:

• $30\to 40\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$: $\underline{\underline{\mathrm{5,0}\min }}$
• $50\to 60\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$: $\underline{\underline{\mathrm{2,0}\min }}$
• $80\to 90\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$: $\underline{\underline{\mathrm{0,83}\min }}$
• $100\to 110\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$: $\underline{\underline{\mathrm{0,55}\min }}$

Mønsteret er det samme uansett hvilken distanse vi velger: tidsbesparelsen blir stadig mindre jo høyere fartsgrensen er. Det stemmer med at ${\displaystyle \frac{s}{v}}-{\displaystyle \frac{s}{v+10}}$ avtar når $v$ øker, siden $10\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ utgjør en stadig mindre relativ fartsøkning ved høye fartsgrenser (f.eks. er $10$ av $30$ en økning på over $33\%$, mens $10$ av $100$ bare er $10\%$).

Dermed har elev 2 rett: man sparer mindre tid jo høyere fartsgrensen er. Elev 1 tar feil når han antar at man sparer like mye uansett fartsgrense.