Terningspill på kasino med forventningsverdi

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et terningspill på et kasino kastes to terninger. Det koster i utgangspunktet ikke noe å delta i spillet. Dersom summen av antall øyne blir 2 eller 12, får spilleren 200 kroner. Blir antall øyne til sammen 7, får hun 20 kroner. Men dersom summen blir noe annet enn 2, 12 eller 7, må spilleren betale $a$ kroner til kasinoet.

La $X$ være utbyttet til kasinoet ved en spilleomgang.

To terninger

Forklar at $P(X = -20) = \dfrac{1}{6}$ .

Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor.

$x$	$a$	$-20$	$-200$
$P(X = x)$		$\dfrac{1}{6}$

Kasinoet vil sette $a$ slik at de i det lange løp tjener 5 kroner per spill.

Bestem verdien til $a$ .

Fasit

Se forklaring i løsningsforslaget

$P(X = a) = \dfrac{7}{9}$ , $P(X = -200) = \dfrac{1}{18}$

$\underline{\underline{a = 25}}$

LøsningsforslagKI-generert

To terninger gir $6 \cdot 6 = 36$ like sannsynlige utfall.

Utfall med sum lik 7: $(1,6),\,(2,5),\,(3,4),\,(4,3),\,(5,2),\,(6,1)$ — det er 6 utfall.

Kasinoet betaler spilleren $20 \, \mathrm{kr}$ , dvs. kasinoet har et utbytte på $X = -20 \, \mathrm{kr}$ i disse tilfellene. Dermed er

P(X = -20) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

$\underline{\underline{P(X = -20) = \dfrac{1}{6}}}$ .

Utfall med sum lik 2: $(1,1)$ — 1 utfall. Utfall med sum lik 12: $(6,6)$ — 1 utfall.

P(X = -200) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}

Siden alle sannsynligheter må summere til 1:

P(X = a) = 1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{18} = 1 - \frac{3}{18} - \frac{1}{18} = 1 - \frac{4}{18} = \frac{14}{18} = \frac{7}{9}

Utfylt tabell:

$x$	$a$	$-20$	$-200$
$P(X = x)$	$\dfrac{7}{9}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{18}$

Vi setter $\text{E}(X) = 5$ og bruker forventningsverdiformelen:

\text{E}(X) = a \cdot \frac{7}{9} + (-20) \cdot \frac{1}{6} + (-200) \cdot \frac{1}{18} = 5

\frac{7a}{9} - \frac{20}{6} - \frac{200}{18} = 5

Vi gjør om til 18-deler:

\frac{14a}{18} - \frac{60}{18} - \frac{200}{18} = 5

\frac{14a - 260}{18} = 5

14a - 260 = 90

14a = 350

a = 25

$\underline{\underline{a = 25 \, \mathrm{kr}}}$ . Kasinoet setter betalingen til $25 \, \mathrm{kr}$ dersom summen verken er 7, 2 eller 12, slik at de i det lange løp tjener $5 \, \mathrm{kr}$ per spill.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Sannsynlighet

Terningspill på kasino med forventningsverdi

Sync på tvers av enheter

Terningspill på kasino med forventningsverdi

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave