Terningspill og forventningsverdi

Ola spiller et spill med mange vanlige terninger. Spillet går over flere runder.

For å kaste terninger og spille bruker Ola programmet nedenfor.

from random import randint
#randint(a,b) gir et tilfeldig heltall fra og med a til og med b

runder = 0
terninger = 100
while terninger > 0:
	for i in range(terninger):
		if randint(1,6) == 6:
			terninger = terninger + 3
		else:
			terninger = terninger - 1
	runder = runder + 1

print(runder)

For hånd

Hva er reglene for spillet?

Ola spiller mange ganger.

Krever PC

Bestem det gjennomsnittlige antallet runder spillet vil vare.

Fasit

Start med 100 terninger; 6 → +3, annet → −1; fortsett til 0 terninger

$\approx 8,5$ runder

Løsningsforslag

Spilleregler:

Spillet starter med 100 terninger.
Hver runde kastes alle terningene (antallet er fast ved rundens start).
For hvert kast som viser 6: legg til 3 terninger.
For hvert kast som ikke viser 6: ta bort 1 terning.
Etter at alle terningene er kastet, økes rundetelleren med 1.
Spillet fortsetter til det ikke er noen terninger igjen.

La $n$ være antall terninger ved starten av en runde. For hvert enkelt kast er:

E [netto endring per terning] = \frac{1}{6} \cdot 3 + \frac{5}{6} \cdot (- 1) = \frac{1}{2} - \frac{5}{6} = - \frac{1}{3}

Forventet antall terninger etter én runde: $n - \frac{n}{3} = \frac{2 n}{3}$

Etter $r$ runder er forventet antall terninger:

E [n_{r}] = 100 \cdot {(\frac{2}{3})}^{r}

Simulering av programmet over mange kjøringer gir et gjennomsnitt på ca. $8,5$ runder.

Det gjennomsnittlige antallet runder spillet vil vare, er $\approx 8,5$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidater som har fått med seg deler av reglene kan få 1 poeng.

Kandidater som kjører programmet fra oppgave a mange ganger og regner ut et gjennomsnitt kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2025, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Programmering, Diskrete sannsynlighetsfordelinger
Kompetansemål: Bruke digitale verktøy til å simulere og utforske utfall i stokastiske forsøk, og forstå begrepet stokastiske variabler
Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen

Terningspill og forventningsverdi

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Terningspill og forventningsverdi

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Terningspill og forventningsverdi

Terningspill og forventningsverdi

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer