Terningspill og forventningsverdi

Del 2 · oppgave 6
Mine oppgaver
Verktøy

Sync på tvers av enheter

Terningspill og forventningsverdi

Ola spiller et spill med mange vanlige terninger. Spillet går over flere runder.

For å kaste terninger og spille bruker Ola programmet nedenfor.

from random import randint
#randint(a,b) gir et tilfeldig heltall fra og med a til og med b

runder = 0
terninger = 100
while terninger > 0:
	for i in range(terninger):
		if randint(1,6) == 6:
			terninger = terninger + 3
		else:
			terninger = terninger - 1
	runder = runder + 1

print(runder)

Hva er reglene for spillet?

Ola spiller mange ganger.

Bestem det gjennomsnittlige antallet runder spillet vil vare.

Fasit

Start med 100 terninger; 6 → +3, annet → −1; fortsett til 0 terninger

≈8,5\approx 8{,}5 runder

Løsningsforslag

Spilleregler:

  • Spillet starter med 100 terninger.
  • Hver runde kastes alle terningene (antallet er fast ved rundens start).
  • For hvert kast som viser 6: legg til 3 terninger.
  • For hvert kast som ikke viser 6: ta bort 1 terning.
  • Etter at alle terningene er kastet, økes rundetelleren med 1.
  • Spillet fortsetter til det ikke er noen terninger igjen.

La nn være antall terninger ved starten av en runde. For hvert enkelt kast er:

E[netto endring per terning]=16⋅3+56⋅(−1)=12−56=−13\text{E}[\text{netto endring per terning}] = \frac{1}{6} \cdot 3 + \frac{5}{6} \cdot (-1) = \frac{1}{2} - \frac{5}{6} = -\frac{1}{3}

Forventet antall terninger etter én runde: n−n3=2n3n - \dfrac{n}{3} = \dfrac{2n}{3}

Etter rr runder er forventet antall terninger:

E[nr]=100⋅(23)r\text{E}[n_r] = 100 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^r

Simulering av programmet over mange kjøringer gir et gjennomsnitt på ca. 8,58{,}5 runder.

Det gjennomsnittlige antallet runder spillet vil vare, er ≈8,5‾‾\underline{\underline{\approx 8{,}5}}.

Sensorveiledning

Kandidater som har fått med seg deler av reglene kan få 1 poeng.

4 poeng

Kandidater som kjører programmet fra oppgave a mange ganger og regner ut et gjennomsnitt kan få 1 poeng.

Oppgavedata
Kategori
3
Vanskegrad
3
Poeng
4
Temaer
sannsynlighet, programmering, diskrete sannsynlighetsfordelinger
Kompetansemål
  • Bruke digitale verktøy til å simulere og utforske utfall i stokastiske forsøk, og forstå begrepet stokastiske variabler
  • Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen